Упр.908 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1. Покажите, что если $$S$$ является суммой бесконечной геометрической прогрессии $$(b_n)$$, то $$\frac{S}{S-b_1}=\frac{b_1}{b_2}$$.

Пусть $$S$$ — сумма бесконечной геометрической прогрессии $$b_n$$ с первым членом $$b_1$$ и знаменателем $$q$$. Тогда

$$S=\frac{b_1}{1-q}, \qquad b_2=b_1q.$$

Преобразуем левую часть:

$$\frac{S}{S-b_1} = \frac{\frac{b_1}{1-q}}{\frac{b_1}{1-q}-b_1} = \frac{\frac{b_1}{1-q}}{\frac{b_1-b_1(1-q)}{1-q}} = \frac{\frac{b_1}{1-q}}{\frac{b_1q}{1-q}} = \frac{1}{q}.$$

Так как $$b_2=b_1q$$, то

$$\frac{1}{q}=\frac{b_1}{b_2}.$$

Следовательно,

$$\frac{S}{S-b_1}=\frac{b_1}{b_2}.$$

Ответ

$$\frac{S}{S-b_1}=\frac{b_1}{b_2}.$$