Упр.906 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1) b3 = 4, b5 = 2;
2) b1 + b3 = 20, b2 + b4 = 20/3.

Для бесконечной геометрической прогрессии при $$|q|<1$$ сумма находится по формуле

$$S=\frac{b_1}{1-q}.$$

1. Дано: $$b_3=4,\quad b_5=2.$$

   По формуле $$b_n=b_1q^{n-1}$$ имеем:

   $$b_5=b_3q^2,$$

   откуда

   $$q^2=\frac{b_5}{b_3}=\frac{2}{4}=\frac12,\qquad q=\pm\frac1{\sqrt2}.$$

   Найдём первый член:

   $$b_3=b_1q^2 \Rightarrow b_1=\frac{b_3}{q^2}=\frac{4}{1/2}=8.$$

   Тогда

   $$S=\frac{8}{1-q}.$$

   При $$q=\frac1{\sqrt2}$$:

   $$S=\frac{8}{1-\frac1{\sqrt2}}=16+8\sqrt2.$$

   При $$q=-\frac1{\sqrt2}$$:

   $$S=\frac{8}{1+\frac1{\sqrt2}}=16-8\sqrt2.$$

2. Дано: $$b_1+b_3=20,\quad b_2+b_4=\frac{20}{3}.$$

   Запишем через $$b_1$$ и $$q$$:

   $$b_1+b_1q^2=20,$$

   $$b_1q+b_1q^3=\frac{20}{3}.$$

   Вынесем общий множитель:

   $$b_1(1+q^2)=20,$$

   $$b_1q(1+q^2)=\frac{20}{3}.$$

   Делим второе уравнение на первое:

   $$q=\frac{1}{3}.$$

   Тогда

   $$b_1(1+q^2)=20 \Rightarrow b_1\left(1+\frac19\right)=20,$$

   $$b_1\cdot\frac{10}{9}=20 \Rightarrow b_1=18.$$

   Теперь найдём сумму:

   $$S=\frac{18}{1-\frac13}=\frac{18}{\frac23}=27.$$

Ответ

1) $$S=16+8\sqrt2$$ или $$S=16-8\sqrt2$$; 2) $$S=27$$.