Упр.903 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии:

1. $$\sqrt{\frac{3}{2}},\ 1,\ \sqrt{\frac{2}{3}},\ \ldots$$;
2. $$\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1},\ \frac{1}{2-\sqrt{2}},\ \frac{1}{2},\ \ldots$$.

Сумма бесконечной геометрической прогрессии находится по формуле

$$S=\frac{b_1}{1-q},$$

где $$b_1$$ — первый член прогрессии, $$q$$ — знаменатель прогрессии, $$|q|<1$$.

1. $$\sqrt{\frac{3}{2}};\ 1;\ \sqrt{\frac{2}{3}};\ldots$$

   Здесь

   $$b_1=\sqrt{\frac{3}{2}}, \qquad q=\frac{1}{\sqrt{3/2}}=\sqrt{\frac{2}{3}}.$$

   Тогда

   $$S=\frac{\sqrt{3/2}}{1-\sqrt{2/3}} =\frac{\sqrt{3/2}}{\frac{\sqrt6-2}{\sqrt6}} =\frac{3}{\sqrt6-2} =\frac{3(\sqrt6+2)}{6-4} =\frac{3}{2}(\sqrt6+2).$$

2. $$\frac{\sqrt2+1}{\sqrt2-1};\ \frac{1}{2-\sqrt2};\ \frac12;\ldots$$

   Здесь

   $$b_1=\frac{\sqrt2+1}{\sqrt2-1}, \qquad q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{1}{2-\sqrt2}\cdot\frac{\sqrt2-1}{\sqrt2+1}=\frac{1}{2+\sqrt2}.$$

   Тогда

   $$S=\frac{\frac{\sqrt2+1}{\sqrt2-1}}{1-\frac{1}{2+\sqrt2}} =\frac{\sqrt2+1}{\sqrt2-1}\cdot\frac{2+\sqrt2}{1+\sqrt2} =\frac{(\sqrt2+1)(2+\sqrt2)}{(\sqrt2-1)(1+\sqrt2)}.$$

   Так как $$(\sqrt2-1)(\sqrt2+1)=1,$$ получаем

   $$S=(\sqrt2+1)(2+\sqrt2)=3\sqrt2+4.$$

Ответ

1) $$\frac{3}{2}(\sqrt6+2);$$ 2) $$3\sqrt2+4.$$