Упр.902 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии:
   1) $$\sqrt{2},\ -1,\ \frac{1}{\sqrt{2}},\ldots$$;
   2) $$3\sqrt{3},\ 3,\ \sqrt{3},\ldots$$;
   2) $$\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1},\ 1,\ \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1},\ldots$$.

Сумма бесконечной геометрической прогрессии находится по формуле

$$S=\frac{b_1}{1-q},$$

где $$b_1$$ — первый член прогрессии, $$q$$ — знаменатель, $$|q|<1$$.

1. $$\sqrt2;\ -1;\ \frac1{\sqrt2};\ldots$$

   $$b_1=\sqrt2,\quad q=\frac{-1}{\sqrt2}=-\frac1{\sqrt2}.$$

   $$S=\frac{\sqrt2}{1-(-\frac1{\sqrt2})} =\frac{\sqrt2}{1+\frac1{\sqrt2}} =\frac{2}{\sqrt2+1} =2(\sqrt2-1).$$

2. $$3\sqrt3;\ 3;\ \sqrt3;\ldots$$

   $$b_1=3\sqrt3,\quad q=\frac{3}{3\sqrt3}=\frac1{\sqrt3}.$$

   $$S=\frac{3\sqrt3}{1-\frac1{\sqrt3}} =\frac{3\sqrt3}{\frac{\sqrt3-1}{\sqrt3}} =\frac{9}{\sqrt3-1} =\frac{9(\sqrt3+1)}{2}.$$

3. $$\frac{\sqrt3+1}{\sqrt3-1};\ 1;\ \frac{\sqrt3-1}{\sqrt3+1};\ldots$$

   $$b_1=\frac{\sqrt3+1}{\sqrt3-1},\quad q=\frac{1}{\frac{\sqrt3+1}{\sqrt3-1}}=\frac{\sqrt3-1}{\sqrt3+1}.$$

   $$S=\frac{\frac{\sqrt3+1}{\sqrt3-1}}{1-\frac{\sqrt3-1}{\sqrt3+1}} =\frac{\frac{\sqrt3+1}{\sqrt3-1}}{\frac{(\sqrt3+1)-(\sqrt3-1)}{\sqrt3+1}} =\frac{\sqrt3+1}{\sqrt3-1}\cdot\frac{\sqrt3+1}{2} =\frac{(\sqrt3+1)^2}{2(\sqrt3-1)}.$$

   $$\frac{(\sqrt3+1)^2}{2(\sqrt3-1)} =\frac{4+2\sqrt3}{\sqrt3-1} =\frac{(4+2\sqrt3)(\sqrt3+1)}{2} =\frac{3\sqrt3+5}{2}.$$

Ответ

1) $$2(\sqrt2-1)$$; 2) $$\frac{9}{2}(\sqrt3+1)$$; 3) $$\frac{3\sqrt3+5}{2}$$.