Упр.901 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Задача

1) 0,222…;
2) 0,666…;
3) 0,(28);
4) 0,1777…;
5) 3,454545…;
6) 1,4(12).

Подробный ответ

Представим каждую периодическую дробь как сумму членов бесконечной геометрической прогрессии и воспользуемся формулой

$$S=\frac{b_1}{1-q}$$

где $$b_1$$ — первый член прогрессии, $$q$$ — её знаменатель.

$$0,222\ldots=0,2+0,02+0,002+\ldots$$
$$b_1=0,2,\quad q=\frac{0,02}{0,2}=0,1$$
$$S=\frac{0,2}{1-0,1}=\frac{0,2}{0,9}=\frac{2}{9}$$
$$0,666\ldots=0,6+0,06+0,006+\ldots$$
$$b_1=0,6,\quad q=\frac{0,06}{0,6}=0,1$$
$$S=\frac{0,6}{1-0,1}=\frac{0,6}{0,9}=\frac{2}{3}$$
$$0,(28)=0,28+0,0028+0,000028+\ldots$$
$$b_1=0,28,\quad q=\frac{0,0028}{0,28}=0,01$$
$$S=\frac{0,28}{1-0,01}=\frac{0,28}{0,99}=\frac{28}{99}$$
$$0,1777\ldots=0,1+0,07+0,007+0,0007+\ldots$$
Первые члены после запятой образуют геометрическую прогрессию:
$$b_1=0,07,\quad q=\frac{0,007}{0,07}=0,1$$
Тогда
$$0,1777\ldots=0,1+\frac{0,07}{1-0,1}=0,1+\frac{0,07}{0,9}$$
$$0,1777\ldots=\frac{1}{10}+\frac{7}{90}=\frac{9}{90}+\frac{7}{90}=\frac{16}{90}=\frac{8}{45}$$
$$3,454545\ldots=3+0,45+0,0045+0,000045+\ldots$$
$$b_1=0,45,\quad q=\frac{0,0045}{0,45}=0,01$$
$$S=3+\frac{0,45}{1-0,01}=3+\frac{0,45}{0,99}$$
$$S=3+\frac{45}{99}=3+\frac{5}{11}=\frac{38}{11}$$
$$1,4(12)=1,4+0,012+0,00012+0,0000012+\ldots$$
$$b_1=0,012,\quad q=\frac{0,00012}{0,012}=0,01$$
$$1,4(12)=\frac{14}{10}+\frac{0,012}{1-0,01}=\frac{7}{5}+\frac{0,012}{0,99}$$
$$\frac{0,012}{0,99}=\frac{12}{990}=\frac{2}{165}$$
$$1,4(12)=\frac{7}{5}+\frac{2}{165}=\frac{231}{165}+\frac{2}{165}=\frac{233}{165}$$