Упр.889 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Просвещение: Найдите количество членов конечной геометрической прогрессии, знаменатель которой q = 3, последний член cn = 162, а сумма всех членов Sn = 242.

Используем формулы для геометрической прогрессии:

$$c_n=c_1q^{n-1}$$

$$S_n=\frac{c_1(q^n-1)}{q-1}$$

Так как $$q=3$$ и $$c_n=162$$, то

$$c_1=\frac{c_n}{q^{n-1}}=\frac{162}{3^{n-1}}.$$

Подставим это в формулу суммы:

$$242=\frac{162}{3^{n-1}}\cdot \frac{3^n-1}{3-1}.$$

Упростим:

$$242=\frac{162(3^n-1)}{2\cdot 3^{n-1}}.$$

Так как $$3^{n-1}=\frac{3^n}{3}$$, получаем

$$242=\frac{162(3^n-1)\cdot 3}{2\cdot 3^n}.$$

После сокращения:

$$242=\frac{243(3^n-1)}{3^n}.$$

Умножим на $$3^n$$:

$$242\cdot 3^n=243(3^n-1)$$

$$242\cdot 3^n=243\cdot 3^n-243$$

$$3^n=243.$$

Так как $$243=3^5$$, то

$$n=5.$$

Ответ

5