Упр.888 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Просвещение: Докажите тождество a^(2n + 1) + 1 = (а + 1)(а^2n — а^(2n — 1) + … + а^2 — а + 1).

Рассмотрим правую часть:

$$ (a+1)(a^{2n}-a^{2n-1}+\dots+a^2-a+1). $$

Скобка представляет собой сумму геометрической прогрессии с первым членом $$1$$ и знаменателем $$-a$$:

$$ a^{2n}-a^{2n-1}+\dots+a^2-a+1 = \frac{1-(-a)^{2n+1}}{1-(-a)}. $$

Тогда

$$ (a+1)\left(a^{2n}-a^{2n-1}+\dots+a^2-a+1\right) = (a+1)\cdot \frac{1-(-a)^{2n+1}}{1+a}. $$

Так как $$(-a)^{2n+1}=-a^{2n+1}$$, получаем

$$ (a+1)\cdot \frac{1-(-a)^{2n+1}}{1+a} = 1-(-a)^{2n+1} = 1+a^{2n+1}. $$

Следовательно,

$$ (a+1)(a^{2n}-a^{2n-1}+\dots+a^2-a+1)=a^{2n+1}+1. $$

Ответ

Тождество доказано.