Упр.888 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1. Докажите тождество $$a^{2n+1}+1=(a+1)(a^{2n}-a^{2n-1}+\dots+a^2-a+1)$$.

Рассмотрим правую часть:

$$(a+1)(a^{2n}-a^{2n-1}+\dots+a^2-a+1).$$

Скобка представляет собой сумму геометрической прогрессии с первым членом $$1$$ и знаменателем $$-a$$:

$$a^{2n}-a^{2n-1}+\dots+a^2-a+1 = \frac{1-(-a)^{2n+1}}{1-(-a)}.$$

Тогда

$$(a+1)\left(a^{2n}-a^{2n-1}+\dots+a^2-a+1\right) = (a+1)\cdot \frac{1-(-a)^{2n+1}}{1+a}.$$

Так как $$(-a)^{2n+1}=-a^{2n+1}$$, получаем

$$(a+1)\cdot \frac{1-(-a)^{2n+1}}{1+a} = 1-(-a)^{2n+1} = 1+a^{2n+1}.$$

Следовательно,

$$(a+1)(a^{2n}-a^{2n-1}+\dots+a^2-a+1)=a^{2n+1}+1.$$

Ответ

Тождество доказано.