Упр.887 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Просвещение: Докажите тождество а^n — 1 = (а — 1)(а^(n — 1) + а^(n — 2) + … + а + 1).

Рассмотрим произведение:

$$ (a-1)(a^{n-1}+a^{n-2}+\dots+a+1). $$

Раскроем скобки:

$$ \begin{aligned} (a-1)(a^{n-1}+a^{n-2}+\dots+a+1) &= a(a^{n-1}+a^{n-2}+\dots+a+1) \\ &\quad — (a^{n-1}+a^{n-2}+\dots+a+1) \\ &= (a^n+a^{n-1}+\dots+a^2+a) \\ &\quad — (a^{n-1}+a^{n-2}+\dots+a+1). \end{aligned} $$

После сокращения одинаковых слагаемых остаётся:

$$ a^n-1. $$

Значит,

$$ a^n-1=(a-1)(a^{n-1}+a^{n-2}+\dots+a+1). $$

Тождество доказано.

Ответ

$$ a^n-1=(a-1)(a^{n-1}+a^{n-2}+\dots+a+1). $$