Упр.874 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1. Найдите сумму шести первых членов геометрической прогрессии $$\left(c_n\right)$$, если:
   1) $$c_4=216$$, а знаменатель прогрессии $$q=-3$$;
   2) $$c_1=5\sqrt{5}$$, $$c_5=125\sqrt{5}$$, а знаменатель прогрессии $$q>0$$.

Используем формулу суммы первых n членов геометрической прогрессии:

$$S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}, \quad q\ne 1.$$

1. Дано: $$c_4=216,\quad q=-3.$$

   Найдём первый член:

   $$c_4=c_1q^3,$$

   $$216=c_1\cdot(-3)^3,$$

   $$216=-27c_1,$$

   $$c_1=-8.$$

   Тогда

   $$S_6=\frac{-8\bigl((-3)^6-1\bigr)}{-3-1}=\frac{-8(729-1)}{-4}=1456.$$

2. Дано: $$c_1=5\sqrt5,\quad c_5=125\sqrt5,\quad q>0.$$

   Найдём знаменатель прогрессии:

   $$c_5=c_1q^4,$$

   $$125\sqrt5=5\sqrt5\cdot q^4,$$

   $$q^4=25,$$

   так как $$q>0,$$ то $$q=\sqrt5.$$

   Теперь найдём сумму:

   $$S_6=\frac{5\sqrt5\bigl((\sqrt5)^6-1\bigr)}{\sqrt5-1}=\frac{5\sqrt5(125-1)}{\sqrt5-1}.$$

   Упростим:

   $$S_6=\frac{5\sqrt5\cdot124}{\sqrt5-1}=\frac{620\sqrt5}{\sqrt5-1}\cdot\frac{\sqrt5+1}{\sqrt5+1}$$

   $$S_6=155(5+\sqrt5).$$

Ответ

1) $$1456$$; 2) $$155(5+\sqrt5)$$.