Упр.871 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1. Найдите сумму первых $$n$$ членов геометрической прогрессии $$(b_n)$$ со знаменателем $$q$$, если:
   1) $$b_1=1,\ q=2,\ n=9$$;
   2) $$b_1=15,\ q=\frac{2}{3},\ n=3$$;
   3) $$b_1=18,\ q=-\frac{1}{3},\ n=5$$;
   4) $$b_1=4,\ q=-\sqrt{2},\ n=4$$.

1. Используем формулу суммы первых $$n$$ членов геометрической прогрессии при $$q \ne 1$$:

   $$S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}.$$

   Тогда

   $$S_9=\frac{1\cdot(2^9-1)}{2-1}=2^9-1=512-1=511.$$

2. $$S_3=\frac{15\left(1-\left(\frac{2}{3}\right)^3\right)}{1-\frac{2}{3}}$$

   $$S_3=\frac{15\left(1-\frac{8}{27}\right)}{\frac{1}{3}}=15\cdot\frac{19}{27}\cdot 3=\frac{95}{3}=31\frac{2}{3}.$$

3. $$S_5=\frac{18\left(1-\left(-\frac{1}{3}\right)^5\right)}{1-\left(-\frac{1}{3}\right)}$$

   $$S_5=\frac{18\left(1+\frac{1}{243}\right)}{1+\frac{1}{3}}=18\cdot\frac{244}{243}\cdot\frac{3}{4}=\frac{122}{9}=13\frac{5}{9}.$$

4. $$S_4=\frac{4\left(1-(-\sqrt{2})^4\right)}{1-(-\sqrt{2})}$$

   Так как $$(-\sqrt{2})^4=4,$$ получаем

   $$S_4=\frac{4(1-4)}{1+\sqrt{2}}=\frac{-12}{1+\sqrt{2}}.$$

   Рационализуем знаменатель:

   $$S_4=\frac{-12(1-\sqrt{2})}{(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})}=12(1-\sqrt{2}).$$

Ответ

1) $$511$$; 2) $$31\frac{2}{3}$$; 3) $$13\frac{5}{9}$$; 4) $$12(1-\sqrt{2})$$.