Упр.867 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1. Докажите тождество: $$\left(\frac{2b}{b^3+1}\div\frac{1-b}{b^2-b+1}+\frac{2}{b-1}\right)\cdot\frac{b^2-2b+1}{4}\div\frac{b-1}{b+1}=\frac{1}{2}.$$

Преобразуем левую часть:

$$\left(\frac{2b}{b^3+1}:\frac{1-b}{b^2-b+1}+\frac{2}{b-1}\right)\cdot \frac{b^2-2b+1}{4}:\frac{b-1}{b+1}$$

Так как $$b^3+1=(b+1)(b^2-b+1)$$ и $$b^2-2b+1=(b-1)^2,$$ получаем:

$$\left(\frac{2b}{(b+1)(b^2-b+1)}\cdot \frac{b^2-b+1}{1-b}+\frac{2}{b-1}\right)\cdot \frac{(b-1)^2}{4}\cdot \frac{b+1}{b-1}$$

$$\left(\frac{2b}{(b+1)(1-b)}+\frac{2}{b-1}\right)\cdot \frac{(b-1)(b+1)}{4}$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\left(\frac{2b}{(b+1)(1-b)}-\frac{2(b+1)}{(b+1)(1-b)}\right)\cdot \frac{(b-1)(b+1)}{4}$$

$$\frac{2b-2(b+1)}{(b+1)(1-b)}\cdot \frac{(b-1)(b+1)}{4} = \frac{-2}{(b+1)(1-b)}\cdot \frac{(b-1)(b+1)}{4}$$

Так как $$1-b=-(b-1),$$ то

$$\frac{-2}{(b+1)(1-b)}\cdot \frac{(b-1)(b+1)}{4} = \frac{2}{4} = \frac12$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$\frac12$$