Упр.865 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1. Первый член бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем $$q$$ таким, что $$|q|<1$$, равен $$6\sqrt{3}$$, а её сумма равна $$9(\sqrt{3}+1)$$. Найдите знаменатель прогрессии.
2. Найдите значение выражения:
   1) $$\frac{7^9}{7^{10}}$$;
   2) $$\frac{125^3}{25^4}$$;
   3) $$\frac{32^5}{64^4}$$;
   4) $$\frac{39^8}{3^{10}\cdot13^7}$$.

Для бесконечной геометрической прогрессии при $$|q|<1$$ сумма равна

$$S=\frac{b_1}{1-q}.$$

Подставим данные:

$$9(\sqrt{3}+1)=\frac{6\sqrt{3}}{1-q}.$$

Тогда

$$1-q=\frac{6\sqrt{3}}{9(\sqrt{3}+1)}=\frac{2\sqrt{3}}{3(\sqrt{3}+1)}.$$

Рационализуем знаменатель:

$$1-q=\frac{2\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)}{3\bigl((\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)\bigr)}=\frac{2\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)}{3\cdot 2}=\frac{3-\sqrt{3}}{3}.$$

Следовательно,

$$q=1-\frac{3-\sqrt{3}}{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}.$$

Теперь найдём значения выражений:

1. $$\frac{7^9}{7^{10}}=7^{9-10}=7^{-1}=\frac{1}{7}.$$

2. $$\frac{125^3}{25^4}=\frac{(5^3)^3}{(5^2)^4}=\frac{5^9}{5^8}=5.$$

3. $$\frac{32^5}{64^4}=\frac{(2^5)^5}{(2^6)^4}=\frac{2^{25}}{2^{24}}=2.$$

4. $$\frac{39^8}{3^{10}\cdot 13^7}=\frac{(3\cdot 13)^8}{3^{10}\cdot 13^7}=\frac{3^8\cdot 13^8}{3^{10}\cdot 13^7}=\frac{13}{3^2}=\frac{13}{9}.$$

Ответ

$$q=\frac{\sqrt{3}}{3};\quad 1)\ \frac{1}{7};\quad 2)\ 5;\quad 3)\ 2;\quad 4)\ \frac{13}{9}.$$