Упр.864 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1. Представьте бесконечную десятичную периодическую дробь в виде обыкновенной дроби: 1) $$0,(21)$$; 2) $$0,2(3)$$; 3) $$2,(7)$$; 4) $$0,(19)$$; 5) $$0,(901)$$; 6) $$1,0(7)$$.
2. Сумма трёх чисел, образующих геометрическую прогрессию, равна $$26$$. Если к этим числам прибавить соответственно $$1$$, $$6$$ и $$3$$, то полученные числа образуют арифметическую прогрессию. Найдите данные числа.

1. $$0,(21)=0,21+0,0021+0,000021+\dots$$

   Это бесконечная геометрическая прогрессия, где $$b_1=0,21$$, $$q=0,01$$.

   $$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{0,21}{1-0,01}=\frac{0,21}{0,99}=\frac{21}{99}=\frac{7}{33}$$

2. $$0,2(3)=0,2+0,03+0,003+\dots$$

   Здесь $$b_1=0,03$$, $$q=0,1$$.

   $$S=0,2+\frac{b_1}{1-q}=0,2+\frac{0,03}{1-0,1} =\frac{1}{5}+\frac{0,03}{0,9} =\frac{1}{5}+\frac{1}{30} =\frac{7}{30}$$

3. $$2,(7)=2+0,7+0,07+\dots$$

   Здесь $$b_1=0,7$$, $$q=0,1$$.

   $$S=2+\frac{0,7}{1-0,1}=2+\frac{0,7}{0,9}=2+\frac{7}{9}=\frac{25}{9}$$

4. $$0,(19)=0,19+0,0019+0,000019+\dots$$

   Здесь $$b_1=0,19$$, $$q=0,01$$.

   $$S=\frac{0,19}{1-0,01}=\frac{0,19}{0,99}=\frac{19}{99}$$

5. $$0,(901)=0,901+0,000901+\dots$$

   Здесь $$b_1=0,901$$, $$q=0,001$$.

   $$S=\frac{0,901}{1-0,001}=\frac{0,901}{0,999}=\frac{901}{999}$$

6. $$1,0(7)=1+0,07+0,007+\dots$$

   Здесь $$b_1=0,07$$, $$q=0,1$$.

   $$S=1+\frac{0,07}{1-0,1}=1+\frac{0,07}{0,9}=1+\frac{7}{90}=\frac{97}{90}$$

Пусть три числа геометрической прогрессии равны $$b_1,\; b_2,\; b_3$$, где $$b_2=b_1q,\; b_3=b_1q^2$$.

По условию:

$$b_1+b_2+b_3=26$$

После прибавления чисел $$1,\;6,\;3$$ получаем арифметическую прогрессию, значит средний член равен полусумме крайних:

$$2(b_2+6)=(b_1+1)+(b_3+3)$$

Подставим $$b_2=b_1q$$, $$b_3=b_1q^2$$:

$$\begin{aligned} b_1(1+q+q^2)&=26,\\ 2(b_1q+6)&=b_1+1+b_1q^2+3. \end{aligned}$$

Из второго уравнения:

$$2b_1q+12=b_1+b_1q^2+4$$

$$2b_1q+8=b_1+b_1q^2$$

$$b_1(2q-1-q^2)=-8$$

Удобнее выразить $$b_1$$ из первого уравнения:

$$b_1=\frac{26}{1+q+q^2}$$

Тогда из условия арифметической прогрессии получаем:

$$3b_1q=18$$

$$b_1q=6$$

Подставим $$b_1=\frac{6}{q}$$ в первое уравнение:

$$\frac{6}{q}(1+q+q^2)=26$$

$$6+6q+6q^2=26q$$

$$3q^2-10q+3=0$$

$$D=100-36=64$$

$$q_{1,2}=\frac{10\pm 8}{6}$$

$$q_1=3,\quad q_2=\frac{1}{3}$$

Найдём числа прогрессии.

При $$q=3$$:

$$b_1=\frac{6}{3}=2,\quad b_2=6,\quad b_3=18$$

При $$q=\frac{1}{3}$$:

$$b_1=\frac{6}{1/3}=18,\quad b_2=6,\quad b_3=2$$

Следовательно, искомые числа: $$2,\;6,\;18$$ или $$18,\;6,\;2$$.

Ответ

1) $$\frac{7}{33}$$; 2) $$\frac{7}{30}$$; 3) $$\frac{25}{9}$$; 4) $$\frac{19}{99}$$; 5) $$\frac{901}{999}$$; 6) $$\frac{97}{90}$$; $$\{2;\,6;\,18\}$$ или $$\{18;\,6;\,2\}$$.