Упр.863 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Задача

1) сумма прогрессии равна 4, а знаменатель равен 1/2;
2) сумма прогрессии равна корень(2) + 1, а знаменатель равен корень(2)/2;
3) сумма прогрессии равна 16/3, а сумма пяти первых членов равна 5,5. Сумма трёх чисел, образующих геометрическую прогрессию, равна 65.
Если из первого из этих чисел вычесть 1, из третьего вычесть 19, а второе оставить без изменений, то полученные числа образуют арифметическую прогрессию. Найдите данные числа.

Подробный ответ

Для бесконечной геометрической прогрессии используем формулу суммы:
$$S=\frac{b_1}{1-q}, \quad |q|<1.$$
Тогда
$$b_1=S(1-q).$$
1) $$S=4,\ q=\frac12$$
$$b_1=4\left(1-\frac12\right)=4\cdot\frac12=2.$$
2) $$S=\sqrt2+1,\ q=\frac{\sqrt2}{2}$$
$$b_1=(\sqrt2+1)\left(1-\frac{\sqrt2}{2}\right)=\frac{(\sqrt2+1)(2-\sqrt2)}{2}.$$
Раскроем скобки:
$$b_1=\frac{2\sqrt2-2+2-\sqrt2}{2}=\frac{\sqrt2}{2}.$$
3) $$S=\frac{16}{3},\ S_5=5{,}5.$$
Сумма первых пяти членов геометрической прогрессии:
$$S_5=\frac{b_1(1-q^5)}{1-q}.$$
Так как $$S=\frac{b_1}{1-q},$$ то
$$S_5=S(1-q^5).$$
Подставим данные:
$$5{,}5=\frac{16}{3}(1-q^5).$$
$$1-q^5=\frac{5{,}5\cdot 3}{16}=\frac{33}{32},$$
$$q^5=1-\frac{33}{32}=-\frac{1}{32}.$$
Отсюда
$$q=-\frac12.$$
Тогда
$$b_1=\frac{16}{3}\left(1+\frac12\right)=\frac{16}{3}\cdot\frac32=8.$$
Пусть три числа геометрической прогрессии равны $$b,\ bq,\ bq^2.$$ Тогда
$$b+bq+bq^2=65,$$
то есть
$$b(1+q+q^2)=65.$$
После изменений получаем арифметическую прогрессию:
$$b-1,\ bq,\ bq^2-19.$$
Для арифметической прогрессии средний член равен среднему арифметическому крайних:
$$2bq=(b-1)+(bq^2-19).$$
Тогда
$$2bq=b+bq^2-20,$$
$$b(2q-1-q^2)=-20.$$
Удобнее воспользоваться тем, что из равенства
$$b+bq+bq^2=65$$
и условия арифметической прогрессии получаем:
$$3bq=b+bq+bq^2-20=45,$$
значит
$$bq=15.$$
Тогда
$$b=\frac{15}{q}.$$
Подставим в сумму:
$$\frac{15}{q}(1+q+q^2)=65,$$
$$15+15q+15q^2=65q,$$
$$3q^2-10q+3=0.$$
Решим квадратное уравнение:
$$D=100-36=64,$$
$$q=\frac{10\pm 8}{6}.$$
Получаем:
$$q=3 \quad \text{или} \quad q=\frac13.$$
Если $$q=3,$$ то
$$b=\frac{15}{3}=5,$$
и числа равны $$5,\ 15,\ 45.$$
Если $$q=\frac13,$$ то
$$b=\frac{15}{1/3}=45,$$
и числа равны $$45,\ 15,\ 5.$$