Упр.862 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Является ли геометрической прогрессией последовательность:
1) b2, b4, b6, …;
2) b1 + 1, b2 + 1, b3 + 1, …;
3) b1^2, b2^2, b3^2, …;
4) -b1, -b3, -b5, …;
5) b1 + b2, b2 + b3, b3 + b4, …;
6) 1/b1, 1/b2, 1/b3, … .
В случае утвердительного ответа укажите, чему равен знаменатель этой прогрессии. Сумма трёх чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 30.
Если из первого числа вычесть 5, из второго вычесть 4, а третье оставить без изменений, то полученные числа образуют геометрическую прогрессию. Найдите данные числа.

Пусть исходная последовательность $$b_1, b_2, b_3, \ldots$$ — геометрическая прогрессия со знаменателем $$q \ne 1$$, то есть

$$b_{n+1}=b_n q.$$

1. $$b_2, b_4, b_6, \ldots$$

   Тогда

   $$b_2=b_1q,\quad b_4=b_1q^3,\quad b_6=b_1q^5,\ldots$$

   Знаменатель новой прогрессии:

   $$\frac{b_4}{b_2}=\frac{b_1q^3}{b_1q}=q^2.$$

2. $$b_1+1,\ b_2+1,\ b_3+1,\ldots$$

   В общем случае такая последовательность не является геометрической прогрессией.

3. $$b_1^2,\ b_2^2,\ b_3^2,\ldots$$

   Так как $$b_{n+1}=b_nq,$$ то

   $$b_{n+1}^2=b_n^2q^2.$$

   Значит, это геометрическая прогрессия со знаменателем $$q^2.$$

4. $$-b_1,\ -b_3,\ -b_5,\ldots$$

   Имеем

   $$-b_1,\ -b_1q^2,\ -b_1q^4,\ldots$$

   Это геометрическая прогрессия со знаменателем $$q^2.$$

5. $$b_1+b_2,\ b_2+b_3,\ b_3+b_4,\ldots$$

   Так как $$b_{n+1}=b_nq,$$ то

   $$b_n+b_{n+1}=b_n(1+q).$$

   Следовательно,

   $$\frac{b_{n+1}+b_{n+2}}{b_n+b_{n+1}}=\frac{b_{n+1}(1+q)}{b_n(1+q)}=q.$$

   Это геометрическая прогрессия со знаменателем $$q.$$

6. $$\frac1{b_1},\ \frac1{b_2},\ \frac1{b_3},\ldots$$

   Тогда

   $$\frac1{b_{n+1}}=\frac1{b_nq}=\frac1q\cdot \frac1{b_n}.$$

   Это геометрическая прогрессия со знаменателем $$\frac1q.$$

Теперь решим задачу про три числа.

Пусть эти числа образуют арифметическую прогрессию:

$$10-d,\ 10,\ 10+d.$$

По условию их сумма равна $$30$$, значит средний член равен $$10$$.

После преобразования получаем числа

$$10-d-5,\ 10-4,\ 10+d.$$

Они образуют геометрическую прогрессию, поэтому

$$\left(10-4\right)^2=(10-d-5)(10+d).$$

Тогда

$$36=(5-d)(10+d).$$

Раскроем скобки:

$$36=50+5d-10d-d^2,$$

$$d^2+5d-14=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=5^2-4\cdot 1\cdot(-14)=81,$$

$$d=\frac{-5\pm 9}{2}.$$

Отсюда

$$d=2 \quad \text{или} \quad d=-7.$$

При $$d=2$$ получаем числа:

$$8,\ 10,\ 12.$$

При $$d=-7$$ получаем числа:

$$17,\ 10,\ 3.$$

Ответ

1) да, знаменатель $$q^2$$; 2) нет; 3) да, знаменатель $$q^2$$; 4) да, знаменатель $$q^2$$; 5) да, знаменатель $$q$$; 6) да, знаменатель $$\frac1q$$.
Данные числа: $$8,\ 10,\ 12$$ или $$17,\ 10,\ 3$$.