Упр.861 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Если к этим числам прибавить соответственно 2, 3 и 9, то полученные числа образуют геометрическую прогрессию. Найдите данные числа.

Пусть три числа арифметической прогрессии равны $$a-d,\ a,\ a+d.$$

По условию их сумма равна $$21$$, значит

$$ (a-d)+a+(a+d)=21 $$

$$ 3a=21,\quad a=7. $$

Тогда числа имеют вид $$7-d,\ 7,\ 7+d.$$

После прибавления соответственно $$2,\ 3,\ 9$$ получаем числа

$$ 9-d,\ 10,\ 16+d, $$

которые образуют геометрическую прогрессию. Поэтому квадрат среднего члена равен произведению крайних:

$$ 10^2=(9-d)(16+d). $$

$$ 100=144-7d-d^2 $$

$$ d^2+7d-44=0. $$

Найдём корни:

$$ D=7^2-4\cdot 1\cdot(-44)=49+176=225, $$

$$ d=\frac{-7\pm 15}{2}. $$

Отсюда

$$ d=4 \quad \text{или} \quad d=-11. $$

При $$d=4$$ получаем

$$ a-d=3,\quad a=7,\quad a+d=11. $$

При $$d=-11$$ получаем числа $$18,\ 7,\ -4,$$ но по условию все числа положительные, значит этот вариант не подходит.

Ответ

$$3,\ 7,\ 11$$