Упр.86 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1. Известно, что $$2{,}2<\sqrt{5}<2{,}3$$ и $$1{,}7<\sqrt{3}<1{,}8$$. Оцените значение выражения: 1) $$\sqrt{5}+\sqrt{3}$$; 2) $$\sqrt{5}-\sqrt{3}$$; 3) $$\sqrt{15}$$.
2. Сравните: 1) $$\sqrt{10}+\sqrt{6}$$ и $$\sqrt{11}+\sqrt{5}$$; 2) $$2+\sqrt{11}$$ и $$\sqrt{5}+\sqrt{10}$$; 3) $$\sqrt{15}-\sqrt{5}$$ и $$\sqrt{2}$$; 4) $$\sqrt{21}+\sqrt{20}$$ и $$9$$.

1) Из неравенств $$2{,}2<\sqrt5<2{,}3$$ и $$1{,}7<\sqrt3<1{,}8$$ получаем:

$$2{,}2+1{,}7<\sqrt5+\sqrt3<2{,}3+1{,}8$$
$$3{,}9<\sqrt5+\sqrt3<4{,}1$$

$$2{,}2-1{,}8<\sqrt5-\sqrt3<2{,}3-1{,}7$$
$$0{,}4<\sqrt5-\sqrt3<0{,}6$$

$$2{,}2\cdot 1{,}7<\sqrt{15}<2{,}3\cdot 1{,}8$$
$$3{,}74<\sqrt{15}<4{,}14$$

2) Сравним выражения.

$$\left(\sqrt{10}+\sqrt6\right)^2=10+6+2\sqrt{60}=16+2\sqrt{60}$$
$$\left(\sqrt{11}+\sqrt5\right)^2=11+5+2\sqrt{55}=16+2\sqrt{55}$$

Так как $$\sqrt{60}>\sqrt{55}$$, то

$$\sqrt{10}+\sqrt6>\sqrt{11}+\sqrt5$$

$$\left(2+\sqrt{11}\right)^2=4+11+4\sqrt{11}=15+4\sqrt{11}$$
$$\left(\sqrt5+\sqrt{10}\right)^2=5+10+2\sqrt{50}=15+2\sqrt{50}$$

Так как $$2\sqrt{50}>4\sqrt{11}$$, то

$$2+\sqrt{11}<\sqrt5+\sqrt{10}$$

$$\left(\sqrt{15}-\sqrt5\right)^2=15+5-2\sqrt{75}=20-2\sqrt{75}$$

Допустим, что $$\sqrt{15}-\sqrt5<\sqrt2$$. Тогда

$$20-2\sqrt{75}<2$$
$$18<2\sqrt{75}$$
$$9<\sqrt{75}$$

Это верно, значит

$$\sqrt{15}-\sqrt5>\sqrt2$$

$$\left(\sqrt{21}+\sqrt{20}\right)^2=21+20+2\sqrt{420}=41+2\sqrt{420}$$

Так как $$\sqrt{420}>20$$, то

$$41+2\sqrt{420}>41+40=81=9^2$$

Следовательно,

$$\sqrt{21}+\sqrt{20}>9$$

Ответ

1) $$3{,}9<\sqrt5+\sqrt3<4{,}1$$;
2) $$0{,}4<\sqrt5-\sqrt3<0{,}6$$;
3) $$3{,}74<\sqrt{15}<4{,}14$$;
4) $$\sqrt{10}+\sqrt6>\sqrt{11}+\sqrt5$$;
5) $$2+\sqrt{11}<\sqrt5+\sqrt{10}$$;
6) $$\sqrt{15}-\sqrt5>\sqrt2$$;
7) $$\sqrt{21}+\sqrt{20}>9$$.