Упр.859 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Задача

1) b1, если b5 = — 16/17, q = -2/3;
2) q, если b1 = 2/3, b4 = 9/32;
3) сумму семи первых членов прогрессии, если b7 = 192, q = 2;
4) сумму пяти первых членов прогрессии, если b5 = 9корень(6), q = корень(3). Докажите, что если члены последовательности (bn) отличны от нуля и при любом натуральном n > 1 выполняется равенство bn^2 = b(n -1) * b(n + 1), то последовательность (bn) является геометрической прогрессией.

Подробный ответ

Используем формулы геометрической прогрессии:

$$b_n=b_1q^{\,n-1}$$

$$S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}, \quad q\ne 1$$

$$b_5=b_1q^4$$
$$b_1=\frac{b_5}{q^4}=\frac{-\frac{16}{27}}{\left(-\frac{2}{3}\right)^4}=\frac{-\frac{16}{27}}{\frac{16}{81}}=-3$$
$$b_4=b_1q^3$$
$$q^3=\frac{b_4}{b_1}=\frac{\frac{9}{32}}{\frac{2}{3}}=\frac{27}{64}$$
$$q=\sqrt[3]{\frac{27}{64}}=\frac{3}{4}$$
$$b_7=b_1q^6$$
$$b_1=\frac{b_7}{q^6}=\frac{192}{2^6}=\frac{192}{64}=3$$
$$S_7=\frac{b_1(q^7-1)}{q-1}=\frac{3(2^7-1)}{2-1}=3\cdot 127=381$$
$$b_5=b_1q^4$$
$$b_1=\frac{b_5}{q^4}=\frac{9\sqrt{6}}{(\sqrt{3})^4}=\frac{9\sqrt{6}}{9}=\sqrt{6}$$
$$S_5=\frac{b_1(q^5-1)}{q-1}=\frac{\sqrt{6}\big((\sqrt{3})^5-1\big)}{\sqrt{3}-1}$$
$$S_5=\frac{\sqrt{6}(9\sqrt{3}-1)}{\sqrt{3}-1}\cdot\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1}$$
$$S_5=\frac{\sqrt{6}(9\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}{2}$$
$$S_5=\frac{\sqrt{6}(26+8\sqrt{3})}{2}=13\sqrt{6}+12\sqrt{2}$$

Докажем утверждение. Пусть для всех натуральных $n>1$ выполняется

$$b_n^2=b_{n-1}b_{n+1}$$

Так как все члены последовательности отличны от нуля, разделим на $b_nb_{n-1}$:

$$\frac{b_n}{b_{n-1}}=\frac{b_{n+1}}{b_n}$$

Значит, отношение соседних членов постоянно и равно одному и тому же числу $q$:

$$\frac{b_2}{b_1}=\frac{b_3}{b_2}=\cdots=\frac{b_{n+1}}{b_n}=q$$

Следовательно, последовательность $(b_n)$ является геометрической прогрессией.