Упр.858 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Просвещение: Чему равна сумма всех двузначных чисел, которые не делятся нацело ни на 3, ни на 5? При каком значении х значения выражений х + 6, х + 2 и Зх — 4 будут последовательными членами геометрической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

1) Найдём сумму всех двузначных чисел, не кратных ни $3$, ни $5$.

Сумма всех двузначных чисел:

$$ S_{90}=\frac{10+99}{2}\cdot 90=4905 $$

Сумма двузначных чисел, кратных $3$:

$$ S_{30}=\frac{12+99}{2}\cdot 30=1665 $$

Сумма двузначных чисел, кратных $5$:

$$ S_{18}=\frac{10+95}{2}\cdot 18=945 $$

Сумма двузначных чисел, кратных $15$:

$$ S_{6}=\frac{15+90}{2}\cdot 6=315 $$

Тогда по формуле включений и исключений:

$$ S=4905-1665-945+315=2610 $$

2) Пусть числа $x+6$, $x+2$ и $3x-4$ — последовательные члены геометрической прогрессии. Тогда квадрат среднего члена равен произведению крайних:

$$ (x+2)^2=(x+6)(3x-4) $$

Раскроем скобки:

$$ x^2+4x+4=3x^2+14x-24 $$

$$ 2x^2+10x-28=0 $$

$$ x^2+5x-14=0 $$

$$ (x-2)(x+7)=0 $$

Отсюда:

$$ x=2 \quad \text{или} \quad x=-7 $$

Если $x=2$, то:

$$ x+6=8,\quad x+2=4,\quad 3x-4=2 $$

Если $x=-7$, то:

$$ x+6=-1,\quad x+2=-5,\quad 3x-4=-25 $$

Ответ

1) $2610$.

2) При $x=2$ члены прогрессии: $8,\,4,\,2$; при $x=-7$ члены прогрессии: $-1,\,-5,\,-25$.