Упр.858 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1. Чему равна сумма всех двузначных чисел, которые не делятся нацело ни на 3, ни на 5?
2. При каком значении $$x$$ значения выражений $$x+6$$, $$x+2$$ и $$3x-4$$ будут последовательными членами геометрической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

1) Найдём сумму всех двузначных чисел, не кратных ни $$3$$, ни $$5$$.

Сумма всех двузначных чисел:

$$S_{90}=\frac{10+99}{2}\cdot 90=4905$$

Сумма двузначных чисел, кратных $$3$$:

$$S_{30}=\frac{12+99}{2}\cdot 30=1665$$

Сумма двузначных чисел, кратных $$5$$:

$$S_{18}=\frac{10+95}{2}\cdot 18=945$$

Сумма двузначных чисел, кратных $$15$$:

$$S_{6}=\frac{15+90}{2}\cdot 6=315$$

Тогда по формуле включений и исключений:

$$S=4905-1665-945+315=2610$$

2) Пусть числа $$x+6$$, $$x+2$$ и $$3x-4$$ — последовательные члены геометрической прогрессии. Тогда квадрат среднего члена равен произведению крайних:

$$(x+2)^2=(x+6)(3x-4)$$

Раскроем скобки:

$$x^2+4x+4=3x^2+14x-24$$

$$2x^2+10x-28=0$$

$$x^2+5x-14=0$$

$$(x-2)(x+7)=0$$

Отсюда:

$$x=2 \quad \text{или} \quad x=-7$$

Если $$x=2$$, то:

$$x+6=8,\quad x+2=4,\quad 3x-4=2$$

Если $$x=-7$$, то:

$$x+6=-1,\quad x+2=-5,\quad 3x-4=-25$$

Ответ

1) $$2610$$.

2) При $$x=2$$ члены прогрессии: $$8,\,4,\,2$$; при $$x=-7$$ члены прогрессии: $$-1,\,-5,\,-25$$.