Упр.857 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1. Задание учебника 2026 года. Найдите сумму двадцати первых нечётных чисел, при делении которых на $$3$$ остаток равен $$1$$.
2. Задание учебника 2021 года. При каком значении $$x$$ значения выражений $$2x+1$$, $$x+5$$ и $$x+11$$ будут последовательными членами геометрической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

1) Числа, которые при делении на $$3$$ дают остаток $$1$$, имеют вид $$3k+1.$$

Среди нечётных чисел такие числа образуют арифметическую прогрессию:

$$1,\ 7,\ 13,\ 19,\ \dots$$

Здесь $$a_1=1,\quad d=6.$$

Найдём сумму первых $$20$$ членов:

$$S_{20}=\frac{2a_1+d(20-1)}{2}\cdot 20 =\frac{2\cdot 1+6\cdot 19}{2}\cdot 20 =\frac{116}{2}\cdot 20 =1160.$$

2) Пусть числа $$2x+1,\ x+5,\ x+11$$ являются последовательными членами геометрической прогрессии. Тогда квадрат среднего члена равен произведению соседних:

$$(x+5)^2=(2x+1)(x+11).$$

Раскроем скобки:

$$x^2+10x+25=2x^2+23x+11$$

$$x^2+13x-14=0$$

$$(x+14)(x-1)=0$$

Отсюда $$x=-14$$ или $$x=1.$$

Найдём члены прогрессии:

при $$x=1$$:

$$2x+1=3,\quad x+5=6,\quad x+11=12;$$

при $$x=-14$$:

$$2x+1=-27,\quad x+5=-9,\quad x+11=-3.$$

Ответ

$$1160;$$ при $$x=1$$: $$3,\ 6,\ 12$$; при $$x=-14$$: $$-27,\ -9,\ -3.$$