Упр.857 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Просвещение: Найдите сумму двадцати первых нечётных чисел, при делении которых на 3 остаток равен 1. При каком значении х значения выражений 2х + 1, х + 5 и х + 11 будут последовательными членами геометрической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

Подробный ответ

1) Числа, которые при делении на $3$ дают остаток $1$, имеют вид $$3k+1.$$

Среди нечётных чисел такие числа образуют арифметическую прогрессию:

$$1,\ 7,\ 13,\ 19,\ \dots$$

Здесь $$a_1=1,\quad d=6.$$

Найдём сумму первых $20$ членов:

$$ S_{20}=\frac{2a_1+d(20-1)}{2}\cdot 20 =\frac{2\cdot 1+6\cdot 19}{2}\cdot 20 =\frac{116}{2}\cdot 20 =1160. $$

2) Пусть числа $$2x+1,\ x+5,\ x+11$$ являются последовательными членами геометрической прогрессии. Тогда квадрат среднего члена равен произведению соседних:

$$ (x+5)^2=(2x+1)(x+11). $$

Раскроем скобки:

$$ x^2+10x+25=2x^2+23x+11 $$

$$ x^2+13x-14=0 $$

$$ (x+14)(x-1)=0 $$

Отсюда $$x=-14$$ или $$x=1.$$

Найдём члены прогрессии:

при $$x=1$$:

$$2x+1=3,\quad x+5=6,\quad x+11=12;$$

при $$x=-14$$:

$$2x+1=-27,\quad x+5=-9,\quad x+11=-3.$$