Упр.856 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)
- Длины сторон прямоугольного треугольника образуют арифметическую прогрессию, а его меньший катет равен $$a$$. Найдите площадь треугольника.
- Найдите первый член и знаменатель геометрической прогрессии $$(b_n)$$, если:
1) $$b_4-b_2=30$$ и $$b_4-b_3=24$$;
2) $$b_2-b_5=78$$ и $$b_3+b_4+b_5=-117$$.
Обозначим стороны прямоугольного треугольника, образующие арифметическую прогрессию, так: $$a,\ a+d,\ a+2d.$$
Так как наибольшая сторона — гипотенуза, то по теореме Пифагора:
$$(a+2d)^2=a^2+(a+d)^2$$
Раскроем скобки:
$$a^2+4ad+4d^2=a^2+a^2+2ad+d^2$$
$$a^2-2ad-3d^2=0$$
$$(a+d)(a-3d)=0$$
Так как длины сторон положительны, получаем $$a=3d,$$ значит
$$d=\frac{a}{3}, \qquad b=a+d=a+\frac{a}{3}=\frac{4a}{3}.$$
Площадь прямоугольного треугольника:
$$S=\frac12 ab=\frac12 \cdot a \cdot \frac{4a}{3}=\frac{2a^2}{3}.$$
Теперь найдём первый член и знаменатель геометрической прогрессии $$b_n=b_1q^{n-1}.$$
1) Из условий:
$$b_4-b_2=30,\qquad b_4-b_3=24.$$
Подставим формулу общего члена:
$$b_1q^3-b_1q=30,$$
$$b_1q^3-b_1q^2=24.$$
Вынесем общий множитель:
$$b_1q(q^2-1)=30,$$
$$b_1q^2(q-1)=24.$$
Разделим первое уравнение на второе:
$$\frac{q^2-1}{q(q-1)}=\frac{30}{24}=\frac54.$$
Так как $$q^2-1=(q-1)(q+1),$$ то
$$\frac{q+1}{q}=\frac54.$$
Отсюда
$$4(q+1)=5q,\qquad q=4.$$
Найдём $$b_1$$:
$$b_1\cdot 4^2(4-1)=24,$$
$$48b_1=24,$$
$$b_1=\frac12.$$
2) Из условий:
$$b_2-b_5=78,\qquad b_3+b_4+b_5=-117.$$
Подставим формулу $$b_n=b_1q^{n-1}:$$
$$b_1q-b_1q^4=78,$$
$$b_1q^2+b_1q^3+b_1q^4=-117.$$
Вынесем общий множитель:
$$b_1q(1-q^3)=78,$$
$$b_1q^2(1+q+q^2)=-117.$$
Разделим первое уравнение на второе:
$$\frac{1-q^3}{q(1+q+q^2)}=\frac{78}{-117}=-\frac23.$$
Так как $$1-q^3=(1-q)(1+q+q^2),$$ получаем
$$\frac{1-q}{q}=-\frac23.$$
Тогда
$$3(1-q)=-2q,$$
$$3-3q=-2q,$$
$$q=3.$$
Найдём $$b_1$$:
$$b_1\cdot 3(1-3^3)=78,$$
$$b_1\cdot 3\cdot (-26)=78,$$
$$-78b_1=78,$$
$$b_1=-1.$$
Ответ
$$S=\frac{2a^2}{3};\quad 1)\ b_1=\frac12,\ q=4;\quad 2)\ b_1=-1,\ q=3.$$
