Упр.856 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1) b4 — b2 = 30 и b4 — b3 = 24;
2) b2 — b5 = 78 и b3 + b4 + b5 = -117.

Обозначим стороны прямоугольного треугольника, образующие арифметическую прогрессию, так: $$a,\ a+d,\ a+2d.$$

Так как наибольшая сторона — гипотенуза, то по теореме Пифагора:

$$ (a+2d)^2=a^2+(a+d)^2 $$

Раскроем скобки:

$$ a^2+4ad+4d^2=a^2+a^2+2ad+d^2 $$

$$ a^2-2ad-3d^2=0 $$

$$ (a+d)(a-3d)=0 $$

Так как длины сторон положительны, получаем $$a=3d,$$ значит

$$ d=\frac{a}{3}, \qquad b=a+d=a+\frac{a}{3}=\frac{4a}{3}. $$

Площадь прямоугольного треугольника:

$$ S=\frac12 ab=\frac12 \cdot a \cdot \frac{4a}{3}=\frac{2a^2}{3}. $$

Теперь найдём первый член и знаменатель геометрической прогрессии $$b_n=b_1q^{n-1}.$$

1) Из условий:

$$ b_4-b_2=30,\qquad b_4-b_3=24. $$

Подставим формулу общего члена:

$$ b_1q^3-b_1q=30, $$
$$ b_1q^3-b_1q^2=24. $$

Вынесем общий множитель:

$$ b_1q(q^2-1)=30, $$
$$ b_1q^2(q-1)=24. $$

Разделим первое уравнение на второе:

$$ \frac{q^2-1}{q(q-1)}=\frac{30}{24}=\frac54. $$

Так как $$q^2-1=(q-1)(q+1),$$ то

$$ \frac{q+1}{q}=\frac54. $$

Отсюда

$$ 4(q+1)=5q,\qquad q=4. $$

Найдём $$b_1$$:

$$ b_1\cdot 4^2(4-1)=24, $$
$$ 48b_1=24, $$
$$ b_1=\frac12. $$

2) Из условий:

$$ b_2-b_5=78,\qquad b_3+b_4+b_5=-117. $$

Подставим формулу $$b_n=b_1q^{n-1}:$$

$$ b_1q-b_1q^4=78, $$
$$ b_1q^2+b_1q^3+b_1q^4=-117. $$

Вынесем общий множитель:

$$ b_1q(1-q^3)=78, $$
$$ b_1q^2(1+q+q^2)=-117. $$

Разделим первое уравнение на второе:

$$ \frac{1-q^3}{q(1+q+q^2)}=\frac{78}{-117}=-\frac23. $$

Так как $$1-q^3=(1-q)(1+q+q^2),$$ получаем

$$ \frac{1-q}{q}=-\frac23. $$

Тогда

$$ 3(1-q)=-2q, $$
$$ 3-3q=-2q, $$
$$ q=3. $$

Найдём $$b_1$$:

$$ b_1\cdot 3(1-3^3)=78, $$
$$ b_1\cdot 3\cdot (-26)=78, $$
$$ -78b_1=78, $$
$$ b_1=-1. $$

Ответ

$$S=\frac{2a^2}{3};\quad 1)\ b_1=\frac12,\ q=4;\quad 2)\ b_1=-1,\ q=3.$$