Упр.855 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Задача

1) b5 = 3b3 и b6 — b2 = 48;
2) b4 + b7 = 56/9 и b5 — b6 + b7 = 14/9;
3) b5 — b4 = 168 и b3 + b4 = -28.

Подробный ответ

Для арифметической прогрессии используем формулу суммы:

$$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n.$$

Так как $$a_9=15,$$ то в симметричной сумме

$$S_{17}=\frac{a_1+a_{17}}{2}\cdot 17$$

средний член равен $$a_9,$$ значит

$$S_{17}=17\cdot a_9=17\cdot 15=255.$$

Для геометрической прогрессии используем формулу

$$b_n=b_1q^{\,n-1}.$$

$$b_5=3b_3,\quad b_6-b_2=48.$$
Тогда
$$b_1q^4=3b_1q^2,$$
откуда
$$q^2=3,\quad q=\pm\sqrt3.$$
Из второго условия:
$$b_1q^5-b_1q=48,$$
$$b_1q(q^4-1)=48.$$
Так как $$q^2=3,$$ то $$q^4=9,$$ и
$$b_1q\cdot 8=48,$$
$$b_1q=6.$$
При $$q=\sqrt3$$ получаем
$$b_1=\frac{6}{\sqrt3}=2\sqrt3.$$
При $$q=-\sqrt3$$ получаем
$$b_1=\frac{6}{-\sqrt3}=-2\sqrt3.$$
$$b_4+b_7=\frac{56}{9},\quad b_5-b_6+b_7=\frac{14}{9}.$$
Подставим формулу общего члена:
$$b_1q^3+b_1q^6=\frac{56}{9},$$
$$b_1q^4-b_1q^5+b_1q^6=\frac{14}{9}.$$
Вынесем общий множитель:
$$b_1q^3(1+q^3)=\frac{56}{9},$$
$$b_1q^4(1-q+q^2)=\frac{14}{9}.$$
Разделим второе равенство на первое:
$$\frac{q(1-q+q^2)}{1+q^3}=\frac{1}{4}.$$
Так как $$1+q^3=(1+q)(1-q+q^2),$$ то
$$\frac{q}{1+q}=\frac14,$$
$$4q=1+q,$$
$$3q=1,\quad q=\frac13.$$
Тогда из первого уравнения:
$$b_1\cdot \frac{1}{27}\left(1+\frac{1}{27}\right)=\frac{56}{9},$$
$$b_1\cdot \frac{28}{729}=\frac{56}{9},$$
$$b_1=162.$$
$$b_5-b_4=168,\quad b_3+b_4=-28.$$
Тогда
$$b_1q^4-b_1q^3=168,$$
$$b_1q^2+b_1q^3=-28.$$
Вынесем множители:
$$b_1q^3(q-1)=168,$$
$$b_1q^2(1+q)=-28.$$
Разделим первое равенство на второе:
$$\frac{q(q-1)}{1+q}=-6,$$
$$q(q-1)=-6(1+q),$$
$$q^2+5q+6=0,$$
$$ (q+2)(q+3)=0.$$
Следовательно,
$$q=-2 \quad \text{или} \quad q=-3.$$
При $$q=-2$$ из первого уравнения:
$$b_1\cdot (-8)\cdot (-3)=168,$$
$$b_1=7.$$
При $$q=-3$$:
$$b_1\cdot (-27)\cdot (-4)=168,$$
$$b_1=\frac{14}{9}.$$