Упр.854 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Задача

Найдите количество членов этой прогрессии. Между числами 6 и 486 вставьте три таких числа, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию.

Подробный ответ

Пусть $$a_1$$ — первый член арифметической прогрессии, $$d$$ — её разность.
Используем формулу суммы первых $$n$$ членов:
$$S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n$$
Из условия:
$$S_3=3,\quad S_4=16,\quad S_n=220.$$
Тогда
$$S_3=\frac{3(2a_1+2d)}{2}=3 \Rightarrow a_1+d=1,$$
$$S_4=\frac{4(2a_1+3d)}{2}=16 \Rightarrow 2a_1+3d=8.$$
Решим систему:
$$ \begin{cases} a_1+d=1,\\ 2a_1+3d=8. \end{cases} $$
Из первого уравнения $$a_1=1-d$$. Подставим во второе:
$$2(1-d)+3d=8$$
$$2+d=8$$
$$d=6,$$
$$a_1=1-6=-5.$$
Теперь найдём число членов прогрессии:
$$220=\frac{n}{2}\bigl(2a_1+d(n-1)\bigr)$$
$$220=\frac{n}{2}\bigl(2\cdot(-5)+6(n-1)\bigr)$$
$$220=\frac{n}{2}(6n-16)$$
$$3n^2-8n-220=0.$$
Найдём корни:
$$D=(-8)^2-4\cdot 3\cdot(-220)=64+2640=2704,$$
$$\sqrt{D}=52.$$
$$ n=\frac{8\pm 52}{6} $$
$$n_1=10,\quad n_2=-\frac{22}{3}.$$
Подходит только $$n=10$$.
Пусть искомая геометрическая прогрессия имеет вид
$$6,\; b_2,\; b_3,\; b_4,\; 486.$$
Тогда
$$b_5=b_1q^4,$$
где $$q$$ — знаменатель прогрессии.
Получаем:
$$486=6q^4$$
$$q^4=81$$
$$q=\pm 3.$$
При $$q=3$$:
$$b_2=18,\quad b_3=54,\quad b_4=162.$$
При $$q=-3$$:
$$b_2=-18,\quad b_3=54,\quad b_4=-162.$$