Упр.853 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)
Найдите первый член и разность прогрессии, если:
1) а3 + а5 + а8 = 18 и а2 + а4 = -2;
2) а5 — а3 = -4 и а2 а4 = -3;
3) а2 + а4 + a6 = 36 и а2 а3 = 54;
4) S5 — S2 — а5 = 0,1 и а7 + S4 = 0,1;
5) S4 = 9 и S6 = 22,5. Между числами 80 и 5 вставьте три таких числа, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию.
$$a_n=a_1+d(n-1)$$
$$a_3+a_5+a_8=18,\quad a_2+a_4=-2$$
$$\begin{aligned} a_1+2d+a_1+4d+a_1+7d&=18,\\ a_1+d+a_1+3d&=-2. \end{aligned}$$
$$\begin{aligned} 3a_1+13d&=18,\\ 2a_1+4d&=-2. \end{aligned}$$
Умножим второе уравнение на $$-3$$ и сложим с первым:
$$3a_1+13d-6a_1-12d=18+6$$
$$d=3$$
$$2a_1+4\cdot 3=-2$$
$$2a_1=-14,\quad a_1=-7$$
$$a_5-a_3=-4,\quad a_2a_4=-3$$
$$\begin{aligned} (a_1+4d)-(a_1+2d)&=-4,\\ (a_1+d)(a_1+3d)&=-3. \end{aligned}$$
$$2d=-4,\quad d=-2$$
$$\begin{aligned} (a_1-2)(a_1-6)&=-3,\\ a_1^2-8a_1+12&=-3,\\ a_1^2-8a_1+15&=0,\\ (a_1-3)(a_1-5)&=0. \end{aligned}$$
Отсюда $$a_1=3$$ или $$a_1=5$$.
$$a_2+a_4+a_6=36,\quad a_2a_3=54$$
$$\begin{aligned} (a_1+d)+(a_1+3d)+(a_1+5d)&=36,\\ (a_1+d)(a_1+2d)&=54. \end{aligned}$$
$$3a_1+9d=36,\quad a_1+3d=12,\quad a_1=12-3d$$
Подставим во второе уравнение:
$$\begin{aligned} (12-3d+d)(12-3d+2d)&=54,\\ (12-2d)(12-d)&=54,\\ d^2-18d+45&=0,\\ (d-3)(d-15)&=0. \end{aligned}$$
Значит, $$d=3$$ или $$d=15$$.
Тогда:
при $$d=3$$: $$a_1=12-3\cdot 3=3$$;
при $$d=15$$: $$a_1=12-3\cdot 15=-33$$.
$$S_5-S_2-a_5=0{,}1,\quad a_7+S_4=0{,}1$$
$$S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n$$
Тогда
$$\begin{aligned} S_5-S_2-a_5&=(a_1+a_2+a_3+a_4+a_5)-(a_1+a_2)-a_5\\ &=a_3+a_4=0{,}1, \end{aligned}$$
то есть
$$a_1+2d+a_1+3d=0{,}1$$
$$2a_1+5d=0{,}1$$
Из второго условия:
$$a_7+S_4=a_1+6d+\frac{2a_1+3d}{2}\cdot 4=0{,}1$$
$$a_1+6d+4a_1+6d=0{,}1$$
$$5a_1+12d=0{,}1$$
Решим систему:
$$\begin{aligned} 2a_1+5d&=0{,}1,\\ 5a_1+12d&=0{,}1. \end{aligned}$$
Умножим первое уравнение на $$5$$, второе на $$2$$ и вычтем:
$$\begin{aligned} 10a_1+25d&=0{,}5,\\ 10a_1+24d&=0{,}2. \end{aligned}$$
$$d=0{,}3$$
$$2a_1+5\cdot 0{,}3=0{,}1$$
$$2a_1=-1{,}4,\quad a_1=-0{,}7$$
$$S_4=9,\quad S_6=22{,}5$$
$$\begin{aligned} S_4&=\frac{2a_1+3d}{2}\cdot 4=9,\\ S_6&=\frac{2a_1+5d}{2}\cdot 6=22{,}5. \end{aligned}$$
Получаем систему:
$$\begin{aligned} 4a_1+6d&=9,\\ 6a_1+15d&=22{,}5. \end{aligned}$$
Умножим первое уравнение на $$3$$, второе на $$2$$:
$$\begin{aligned} 12a_1+18d&=27,\\ 12a_1+30d&=45. \end{aligned}$$
$$12d=18,\quad d=1{,}5$$
$$4a_1+6\cdot 1{,}5=9$$
$$4a_1=0,\quad a_1=0$$
Пусть в геометрической прогрессии $$b_1=80$$, $$b_5=5$$.
$$b_5=b_1q^4$$
$$5=80q^4,\quad q^4=\frac{1}{16}$$
$$q=\pm \frac{1}{2}$$
Если $$q=\frac{1}{2}$$, то:
$$b_2=80\cdot \frac{1}{2}=40,\quad b_3=20,\quad b_4=10$$
Если $$q=-\frac{1}{2}$$, то:
$$b_2=80\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=-40,\quad b_3=20,\quad b_4=-10$$
Ответ
1) $$a_1=-7,\ d=3$$; 2) $$a_1=3,\ d=-2$$ или $$a_1=5,\ d=-2$$; 3) $$a_1=3,\ d=3$$ или $$a_1=-33,\ d=15$$; 4) $$a_1=-0{,}7,\ d=0{,}3$$; 5) $$a_1=0,\ d=1{,}5$$; между $$80$$ и $$5$$: $$40,\ 20,\ 10$$ или $$-40,\ 20,\ -10$$.
