Упр.852 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1. Третий член арифметической прогрессии равен $$11$$, а седьмой равен $$27$$. Сколько надо взять членов этой прогрессии, чтобы их сумма была равной $$253$$?
2. Последовательность $$\left(b_n\right)$$ является геометрической прогрессией со знаменателем $$q$$. Является ли геометрической прогрессией последовательность: 1) $$b_2, b_4, \ldots, b_{2n}$$; 2) $$b_1b_3, b_2b_4, b_3b_5, \ldots, b_{n-2}b_n$$? В случае утвердительного ответа укажите знаменатель прогрессии.

Найдём разность арифметической прогрессии:

$$d=\frac{a_7-a_3}{7-3}=\frac{27-11}{4}=4.$$

Тогда первый член:

$$a_3=a_1+2d,$$

$$a_1=11-2\cdot 4=3.$$

Используем формулу суммы первых $$n$$ членов арифметической прогрессии:

$$S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n.$$

Подставим данные:

$$253=\frac{2\cdot 3+4(n-1)}{2}\cdot n.$$

Упростим:

$$253=\frac{6+4n-4}{2}\cdot n=\frac{4n+2}{2}\cdot n=(2n+1)n.$$

Получаем уравнение:

$$2n^2+n-253=0.$$

Найдём корни:

$$D=1-4\cdot 2\cdot(-253)=2025,$$

$$n=\frac{-1\pm 45}{4}.$$

Положительный корень:

$$n=\frac{44}{4}=11.$$

Значит, нужно взять 11 членов прогрессии.

Теперь проверим геометрические прогрессии.

1) Последовательность $$b_2, b_4, \ldots, b_{2n}$$.

Если $$b_n$$ — геометрическая прогрессия со знаменателем $$q$$, то

$$b_k=b_1q^{k-1}.$$

Тогда

$$\frac{b_4}{b_2}=\frac{b_1q^3}{b_1q}=q^2.$$

Следовательно, это геометрическая прогрессия со знаменателем $$q^2$$.

2) Последовательность $$b_1b_3,\; b_2b_4,\; b_3b_5,\; \ldots,\; b_{n-2}b_n$$.

Найдём отношение соседних членов:

$$\frac{b_2b_4}{b_1b_3}=\frac{(b_1q)(b_1q^3)}{(b_1)(b_1q^2)}=q^2.$$

Аналогично для любых соседних членов отношение одинаково и равно $$q^2$$, значит, это тоже геометрическая прогрессия.

Ответ

1) Да, знаменатель $$q^2$$. 2) Да, знаменатель $$q^2$$. Нужно взять 11 членов.