Упр.850 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1) длины сторон а, b и с треугольника образуют арифметическую прогрессию, то ас = 6Rr, где R и r — соответственно радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника;
2) длины сторон прямоугольного треугольника образуют арифметическую прогрессию, то её разность равна радиусу вписанной окружности этого треугольника;
3) длины сторон треугольника с углом 120° образуют арифметическую прогрессию, то они относятся как 3:5:7. Является ли геометрической прогрессией последовательность:
1) 2^-n, 2^-2n, 2^-3n, 2^-4n;
2) 2^n, 2^n^2, 2^n^3, 2^n^4;
3) 2^n, 2^(n + 1), 2^(n + 2), 2^(n + 3)?
В случае утвердительного ответа укажите знаменатель прогрессии.

1. Пусть стороны треугольника образуют арифметическую прогрессию:
   $$a,\ b,\ c,\qquad b=\frac{a+c}{2}.$$
   Для любого треугольника
   $$R=\frac{abc}{4S},\qquad r=\frac{2S}{a+b+c}.$$
   Тогда
   $$6Rr=6\cdot \frac{abc}{4S}\cdot \frac{2S}{a+b+c}=\frac{3abc}{a+b+c}.$$
   Так как $$a+b+c=a+\frac{a+c}{2}+c=\frac{3(a+c)}{2},$$
   то
   $$6Rr=\frac{3abc}{\frac{3(a+c)}{2}}=\frac{2abc}{a+c}.$$
   С другой стороны, из $$b=\frac{a+c}{2}$$ получаем
   $$2b=a+c,$$
   значит
   $$ac\cdot (a+c)=2abc,$$
   откуда
   $$ac=6Rr.$$
2. Пусть стороны прямоугольного треугольника образуют арифметическую прогрессию:
   $$a,\ a+d,\ a+2d.$$
   Тогда по теореме Пифагора
   $$a^2+(a+d)^2=(a+2d)^2.$$
   Раскроем скобки:
   $$ a^2+a^2+2ad+d^2=a^2+4ad+4d^2, $$
   $$ a^2-2ad-3d^2=0, $$
   $$ (a+d)(a-3d)=0. $$
   Так как длины сторон положительны, то $$a=3d.$$
   Для прямоугольного треугольника
   $$r=\frac{a+b-c}{2}.$$
   Подставим:
   $$ r=\frac{a+(a+d)-(a+2d)}{2}=\frac{a-d}{2}. $$
   Но $$a=3d,$$ значит
   $$ r=\frac{3d-d}{2}=d. $$
   Следовательно, разность арифметической прогрессии равна радиусу вписанной окружности.
3. Пусть стороны треугольника с углом $$120^\circ$$ образуют арифметическую прогрессию:
   $$a,\ a+d,\ a+2d.$$
   По теореме косинусов для стороны, лежащей напротив угла $$120^\circ$$,
   $$ (a+2d)^2=a^2+(a+d)^2-2a(a+d)\cos 120^\circ. $$
   Так как $$\cos 120^\circ=-\frac12,$$ получаем
   $$ (a+2d)^2=a^2+(a+d)^2+a(a+d). $$
   Раскроем скобки:
   $$ a^2+4ad+4d^2=a^2+a^2+2ad+d^2+a^2+ad, $$
   $$ 2a^2-ad-3d^2=0, $$
   $$ (a+d)(2a-3d)=0. $$
   Так как $$a>0,$$ то
   $$2a=3d,\qquad a=\frac{3d}{2}.$$
   Тогда
   $$ b=a+d=\frac{3d}{2}+d=\frac{5d}{2},\qquad c=a+2d=\frac{3d}{2}+2d=\frac{7d}{2}. $$
   Значит,
   $$a:b:c=3:5:7.$$

Ход решения

1. $$b_k=2^{-kn},\qquad b_{k+1}=2^{-(k+1)n}.$$
   Тогда
   $$ q=\frac{b_{k+1}}{b_k}=\frac{2^{-(k+1)n}}{2^{-kn}}=2^{-n}. $$
   Последовательность является геометрической прогрессией, $$q=2^{-n}.$$
2. $$b_1=2^n,\quad b_2=2^{n^2},\quad b_3=2^{n^3}.$$
   Тогда
   $$ q_1=\frac{b_2}{b_1}=2^{n^2-n},\qquad q_2=\frac{b_3}{b_2}=2^{n^3-n^2}. $$
   Вообще говоря, $$q_1\ne q_2,$$ значит последовательность не является геометрической прогрессией.
3. $$b_1=2^n,\quad b_2=2^{n+1},\quad b_3=2^{n+2},\quad b_4=2^{n+3}.$$
   Тогда
   $$ q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{2^{n+1}}{2^n}=2, $$
   $$ q=\frac{b_3}{b_2}=\frac{2^{n+2}}{2^{n+1}}=2, $$
   $$ q=\frac{b_4}{b_3}=\frac{2^{n+3}}{2^{n+2}}=2. $$
   Следовательно, это геометрическая прогрессия с знаменателем $$q=2.$$

Ответ

1) $$ac=6Rr$$; 2) разность равна $$r$$; 3) $$a:b:c=3:5:7$$; 4) да, $$q=2^{-n}$$; 5) нет; 6) да, $$q=2$$.