Упр.850 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Задача

Докажите, что если:
1) длины сторон $$a$$, $$b$$ и $$c$$ треугольника образуют арифметическую прогрессию, то $$ac=6Rr$$, где $$R$$ и $$r$$ — соответственно радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника;
2) длины сторон прямоугольного треугольника образуют арифметическую прогрессию, то её разность равна радиусу вписанной окружности этого треугольника;
3) длины сторон треугольника с углом $$120^\circ$$ образуют арифметическую прогрессию, то они относятся как $$3:5:7$$.
Является ли геометрической прогрессией последовательность:
1) $$2^{-n},\ 2^{-2n},\ 2^{-3n},\ 2^{-4n}$$;
2) $$2^n,\ 2^n^2,\ 2^n^3,\ 2^n^4$$;
3) $$2^n,\ 2^{n+1},\ 2^{n+2},\ 2^{n+3}$$?
В случае утвердительного ответа укажите знаменатель прогрессии.

Подробный ответ

Пусть стороны треугольника образуют арифметическую прогрессию:
$$a,\ b,\ c,\qquad b=\frac{a+c}{2}.$$
Для любого треугольника
$$R=\frac{abc}{4S},\qquad r=\frac{2S}{a+b+c}.$$
Тогда
$$6Rr=6\cdot \frac{abc}{4S}\cdot \frac{2S}{a+b+c}=\frac{3abc}{a+b+c}.$$
Так как $$a+b+c=a+\frac{a+c}{2}+c=\frac{3(a+c)}{2},$$
то
$$6Rr=\frac{3abc}{\frac{3(a+c)}{2}}=\frac{2abc}{a+c}.$$
С другой стороны, из $$b=\frac{a+c}{2}$$ получаем
$$2b=a+c,$$
значит
$$ac\cdot (a+c)=2abc,$$
откуда
$$ac=6Rr.$$
Пусть стороны прямоугольного треугольника образуют арифметическую прогрессию:
$$a,\ a+d,\ a+2d.$$
Тогда по теореме Пифагора
$$a^2+(a+d)^2=(a+2d)^2.$$
Раскроем скобки:
$$a^2+a^2+2ad+d^2=a^2+4ad+4d^2,$$
$$a^2-2ad-3d^2=0,$$
$$(a+d)(a-3d)=0.$$
Так как длины сторон положительны, то $$a=3d.$$
Для прямоугольного треугольника
$$r=\frac{a+b-c}{2}.$$
Подставим:
$$r=\frac{a+(a+d)-(a+2d)}{2}=\frac{a-d}{2}.$$
Но $$a=3d,$$ значит
$$r=\frac{3d-d}{2}=d.$$
Следовательно, разность арифметической прогрессии равна радиусу вписанной окружности.
Пусть стороны треугольника с углом $$120^\circ$$ образуют арифметическую прогрессию:
$$a,\ a+d,\ a+2d.$$
По теореме косинусов для стороны, лежащей напротив угла $$120^\circ$$,
$$(a+2d)^2=a^2+(a+d)^2-2a(a+d)\cos 120^\circ.$$
Так как $$\cos 120^\circ=-\frac12,$$ получаем
$$(a+2d)^2=a^2+(a+d)^2+a(a+d).$$
Раскроем скобки:
$$a^2+4ad+4d^2=a^2+a^2+2ad+d^2+a^2+ad,$$
$$2a^2-ad-3d^2=0,$$
$$(a+d)(2a-3d)=0.$$
Так как $$a>0,$$ то
$$2a=3d,\qquad a=\frac{3d}{2}.$$
Тогда
$$b=a+d=\frac{3d}{2}+d=\frac{5d}{2},\qquad c=a+2d=\frac{3d}{2}+2d=\frac{7d}{2}.$$
Значит,
$$a:b:c=3:5:7.$$

$$b_k=2^{-kn},\qquad b_{k+1}=2^{-(k+1)n}.$$
Тогда
$$q=\frac{b_{k+1}}{b_k}=\frac{2^{-(k+1)n}}{2^{-kn}}=2^{-n}.$$
Последовательность является геометрической прогрессией, $$q=2^{-n}.$$
$$b_1=2^n,\quad b_2=2^{n^2},\quad b_3=2^{n^3}.$$
Тогда
$$q_1=\frac{b_2}{b_1}=2^{n^2-n},\qquad q_2=\frac{b_3}{b_2}=2^{n^3-n^2}.$$
Вообще говоря, $$q_1\ne q_2,$$ значит последовательность не является геометрической прогрессией.
$$b_1=2^n,\quad b_2=2^{n+1},\quad b_3=2^{n+2},\quad b_4=2^{n+3}.$$
Тогда
$$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{2^{n+1}}{2^n}=2,$$
$$q=\frac{b_3}{b_2}=\frac{2^{n+2}}{2^{n+1}}=2,$$
$$q=\frac{b_4}{b_3}=\frac{2^{n+3}}{2^{n+2}}=2.$$
Следовательно, это геометрическая прогрессия с знаменателем $$q=2.$$