Упр.85 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1) a+b; 2) ab; 3) a-b. Докажите, что:
1) корень(55) + корень(35) > корень(120);
2) корень(119) — корень(67) < 3.

1) Так как $$5<a<6$$ и $$4<b<7,$$ то, складывая неравенства, получаем:

$$5+4<a+b<6+7,$$

$$9<a+b<13.$$

Умножая положительные числа $$a$$ и $$b$$, имеем:

$$5\cdot 4<ab<6\cdot 7,$$

$$20<ab<42.$$

Вычитая из неравенств, получаем:

$$5-7<a-b<6-4,$$

$$-2<a-b<2.$$

2) Докажем неравенство $$\sqrt{55}+\sqrt{35}>\sqrt{120}.$$

Заметим, что $$55=5\cdot 11,$$ $$35=5\cdot 7,$$ $$120=5\cdot 24.$$ Тогда

$$\sqrt{55}+\sqrt{35}=\sqrt{5}\sqrt{11}+\sqrt{5}\sqrt{7}=\sqrt{5}\,(\sqrt{11}+\sqrt{7}),$$

$$\sqrt{120}=\sqrt{5}\sqrt{24}=\sqrt{5}\cdot 2\sqrt{6}.$$

Достаточно доказать, что $$\sqrt{11}+\sqrt{7}>2\sqrt{6}.$$

Так как $$\sqrt{11}>3$$ и $$\sqrt{7}>2,$$ то

$$\sqrt{11}+\sqrt{7}>3+2=5.$$

Кроме того, $$2\sqrt{6}<2\cdot 3=6,$$ а значит действительно

$$\sqrt{11}+\sqrt{7}>2\sqrt{6}.$$

Следовательно,

$$\sqrt{55}+\sqrt{35}>\sqrt{120}.$$

3) Докажем неравенство $$\sqrt{119}-\sqrt{67}<3.$$

Так как $$\sqrt{119}<\sqrt{121}=11,$$ а $$\sqrt{67}>\sqrt{64}=8,$$ то

$$\sqrt{119}-\sqrt{67}<11-8=3.$$

Неравенство доказано.

Ответ

$$9<a+b<13,$$ $$20<ab<42,$$ $$-2<a-b<2.$$

$$\sqrt{55}+\sqrt{35}>\sqrt{120}, \qquad \sqrt{119}-\sqrt{67}<3.$$