Упр.848 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Просвещение: Сумма трёх чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 12, а сумма их квадратов равна 80. Найдите эти числа. Докажите, что в конечной геометрической прогрессии произведение членов, равноудалённых от её концов, равно произведению крайних членов.

Пусть три числа, образующие арифметическую прогрессию, равны $$4-d,\ 4,\ 4+d.$$

Тогда по условию их сумма равна $$12$$:

$$ (4-d)+4+(4+d)=12, $$

что выполняется.

Используем условие о сумме квадратов:

$$ (4-d)^2+4^2+(4+d)^2=80. $$

Раскроем скобки:

$$ 16-8d+d^2+16+16+8d+d^2=80, $$

$$ 48+2d^2=80, $$

$$ 2d^2=32, $$

$$ d^2=16, $$

$$ d=\pm 4. $$

Если $$d=4,$$ то числа равны $$0,\ 4,\ 8.$$

Если $$d=-4,$$ то получаем те же числа, только в другом порядке: $$8,\ 4,\ 0.$$

Значит, искомые числа: $$0,\ 4,\ 8.$$

Докажем утверждение для конечной геометрической прогрессии.

Пусть дана геометрическая прогрессия $$b_1,\ b_2,\ \ldots,\ b_n,$$ где $$b_k=b_1q^{k-1}.$$ Тогда

$$ b_{n-k+1}=b_1q^{n-k}. $$

Перемножим члены, равноудалённые от концов:

$$ b_k\cdot b_{n-k+1}=b_1q^{k-1}\cdot b_1q^{n-k}=b_1^2q^{n-1}. $$

Произведение крайних членов равно

$$ b_1\cdot b_n=b_1\cdot b_1q^{n-1}=b_1^2q^{n-1}. $$

Следовательно,

$$ b_k\cdot b_{n-k+1}=b_1\cdot b_n, $$

что и требовалось доказать.

Ответ

$$0,\ 4,\ 8.$$