Упр.847 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)
Является ли арифметической прогрессией последовательность:
1) -a2, -a4, -a6, -a8, …;
2) а1 + 5, а2 + 5, а3 + 5, …;
3) 1 — а1, 1 — a2, 1 — a3, …;
4) а1^2, а2^2, а3^2, …;
5) a1 + a2, a2 + a3, a3 + a4, …;
6) а1 + а2, а3 + а4, а5 + a6, …?
В случае утвердительного ответа укажите, чему равна разность прогрессии. Третий член геометрической прогрессии равен 3. Найдите произведение пяти первых членов этой прогрессии.
Пусть исходная последовательность $$a_1, a_2, a_3, \ldots$$ — арифметическая прогрессия с разностью $$d \ne 0$$, то есть
$$a_n=a_1+d(n-1).$$
$$-a_2,\,-a_4,\,-a_6,\,-a_8,\ldots$$
$$-a_2=-(a_1+d),\quad -a_4=-(a_1+3d),\quad -a_6=-(a_1+5d),\ldots$$
Разность:
$$-(a_1+3d)-\bigl(-(a_1+d)\bigr)=-2d.$$
Это арифметическая прогрессия, её разность равна $$-2d$$.
$$a_1+5,\ a_2+5,\ a_3+5,\ldots$$
При прибавлении одного и того же числа к каждому члену разность не меняется.
Разность равна $$d$$.
$$1-a_1,\ 1-a_2,\ 1-a_3,\ldots$$
$$\bigl(1-a_{n+1}\bigr)-\bigl(1-a_n\bigr)=a_n-a_{n+1}=-d.$$
Это арифметическая прогрессия, её разность равна $$-d$$.
$$a_1^2,\ a_2^2,\ a_3^2,\ldots$$
Разность соседних членов:
$$a_{n+1}^2-a_n^2=(a_{n+1}-a_n)(a_{n+1}+a_n)=d(a_{n+1}+a_n).$$
Так как эта разность зависит от $$n$$, последовательность не является арифметической прогрессией.
$$a_1+a_2,\ a_2+a_3,\ a_3+a_4,\ldots$$
$$a_n+a_{n+1}=\bigl(a_1+d(n-1)\bigr)+\bigl(a_1+dn\bigr)=2a_1+d(2n-1).$$
Разность:
$$\bigl(a_{n+1}+a_{n+2}\bigr)-\bigl(a_n+a_{n+1}\bigr)=2d.$$
Это арифметическая прогрессия, её разность равна $$2d$$.
$$a_1+a_2,\ a_3+a_4,\ a_5+a_6,\ldots$$
$$a_{2n-1}+a_{2n}= \bigl(a_1+d(2n-2)\bigr)+\bigl(a_1+d(2n-1)\bigr)=2a_1+d(4n-3).$$
Разность соседних членов:
$$\bigl(a_{2n+1}+a_{2n+2}\bigr)-\bigl(a_{2n-1}+a_{2n}\bigr)=4d.$$
Это арифметическая прогрессия, её разность равна $$4d$$.
Теперь найдём произведение пяти первых членов геометрической прогрессии, если $$b_3=3$$.
Для геометрической прогрессии выполняется:
$$b_1b_5=b_3^2.$$
Тогда произведение пяти первых членов:
$$b_1b_2b_3b_4b_5=(b_1b_5)(b_2b_4)b_3=b_3^2\cdot b_3^2\cdot b_3=b_3^5=3^5=243.$$
Ответ
1) да, $$-2d$$; 2) да, $$d$$; 3) да, $$-d$$; 4) нет; 5) да, $$2d$$; 6) да, $$4d$$; произведение пяти первых членов геометрической прогрессии равно $$243$$.
