Упр.846 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Просвещение: Длины сторон прямоугольного треугольника образуют арифметическую прогрессию. Найдите катеты треугольника, если его гипотенуза равна 4 см. Второй член геометрической прогрессии равен 6. Найдите произведение трёх первых членов этой прогрессии.

1) Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $$a$$ и $$b$$, причём $$a,\, b,\, 4$$ — члены арифметической прогрессии. Тогда

$$b=\frac{a+4}{2}, \qquad a^2+b^2=16.$$

Подставим $$a=2b-4$$ во второе уравнение:

$$ (2b-4)^2+b^2=16 $$

$$ 4b^2-16b+16+b^2=16 $$

$$ 5b^2-16b=0 $$

$$ b(5b-16)=0 $$

Так как $$b>0$$, то

$$ b=\frac{16}{5}=3{,}2. $$

Тогда

$$ a=2\cdot 3{,}2-4=2{,}4. $$

Значит, катеты равны $$2{,}4$$ см и $$3{,}2$$ см.

2) Пусть первый член геометрической прогрессии равен $$b_1$$, а знаменатель — $$q$$. Тогда

$$ b_2=b_1q=6. $$

Произведение трёх первых членов:

$$ b_1b_2b_3=b_1\cdot b_1q\cdot b_1q^2=b_1^3q^3=(b_1q)^3=b_2^3=6^3=216. $$

Ответ

$$2{,}4\text{ см и }3{,}2\text{ см};\ 216.$$