Упр.844 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1. Сумма скольких первых членов арифметической прогрессии $$105, 98, 91, \ldots$$ равна нулю?
2. При каком значении переменной $$x$$ числа $$x$$, $$3x$$ и $$18$$ будут последовательными членами геометрической прогрессии?

1) Для арифметической прогрессии $$105, 98, 91, \ldots$$ имеем:

$$a_1=105,\quad d=98-105=-7.$$

Сумма первых $$n$$ членов арифметической прогрессии:

$$S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n.$$

По условию $$S_n=0$$, значит

$$\frac{2\cdot 105-7(n-1)}{2}\cdot n=0.$$

Так как $$n>0$$, то

$$210-7(n-1)=0,$$

$$210-7n+7=0,$$

$$7n=217,$$

$$n=31.$$

2) Пусть числа $$x,\,3x,\,18$$ — последовательные члены геометрической прогрессии. Тогда квадрат среднего члена равен произведению соседних:

$$(3x)^2=x\cdot 18.$$

Отсюда

$$9x^2=18x,$$

$$9x(x-2)=0,$$

$$x=0 \text{ или } x=2.$$

Но при $$x=0$$ получаем последовательность $$0,0,18$$, которая не является геометрической прогрессией, поэтому подходит только

$$x=2.$$

Ответ

1) $$31$$; 2) $$2$$.