Упр.837 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1. К сплаву магния и алюминия, содержавшему $$15\ \text{кг}$$ алюминия, добавили $$4\ \text{кг}$$ магния, после чего процентное содержание магния в сплаве повысилось на $$12{,}5\%$$. Какой была первоначальная масса этого сплава?
2. Число $$486$$ является членом геометрической прогрессии $$2, 6, 18, \ldots$$. Найдите номер этого члена.

1) Пусть первоначальная масса сплава равна $$x$$ кг. Тогда масса магния в нём была $$x-15$$ кг.

После добавления $$4$$ кг магния масса сплава стала $$x+4$$ кг, а масса магния — $$x-11$$ кг.

По условию процентное содержание магния увеличилось на $$12{,}5\% = \frac18 \cdot 100\%$$, значит:

$$\frac{x-11}{x+4}-\frac{x-15}{x}=\frac18$$

Умножим на $$8x(x+4)$$:

$$8x(x-11)-8(x-15)(x+4)=x(x+4)$$

$$8x^2-88x-8(x^2-11x-60)=x^2+4x$$

$$8x^2-88x-8x^2+88x+480=x^2+4x$$

$$x^2+4x-480=0$$

$$D=4^2+4\cdot 480=1936$$

$$x=\frac{-4\pm 44}{2}$$

$$x_1=20,\quad x_2=-24$$

Так как масса не может быть отрицательной, получаем $$x=20$$ кг.

2) Для геометрической прогрессии $$2,\,6,\,18,\ldots$$ знаменатель равен

$$q=\frac{6}{2}=3$$

Ищем номер члена, равного $$486$$:

$$b_n=b_1q^{n-1}$$

$$2\cdot 3^{n-1}=486$$

$$3^{n-1}=243=3^5$$

Следовательно, $$n-1=5$$, откуда $$n=6$$.

Ответ

$$20$$ кг; $$6$$.