Упр.836 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1. В каком отношении надо смешать 30-процентный и 10-процентный растворы соляной кислоты, чтобы получить 15-процентный раствор?
2. Найдите первый член геометрической прогрессии $$(c_n)$$, если:
   1) $$c_4=\frac{1}{98}$$, а знаменатель $$q=\frac{2}{7}$$;
   2) $$c_6=100$$, $$c_9=100\,000$$.

1) Пусть взяли $$x$$ частей 30%-ного раствора и $$y$$ частей 10%-ного раствора. Тогда количество кислоты в смеси равно

$$0{,}3x+0{,}1y,$$

а в 15%-ном растворе той же массы —

$$0{,}15(x+y).$$

Составим уравнение:

$$0{,}3x+0{,}1y=0{,}15(x+y).$$

Решим его:

$$0{,}3x+0{,}1y=0{,}15x+0{,}15y \\ 0{,}15x=0{,}05y \\ 3x=y$$

Значит, растворы нужно смешать в отношении $$x:y=1:3$$.

2) Для геометрической прогрессии используем формулу $$c_n=c_1q^{n-1}$$.

1) Если $$c_4=\frac{1}{98}$$, $$q=\frac{2}{7}$$, то

$$c_4=c_1q^3 \\ c_1=\frac{c_4}{q^3}=\frac{1/98}{(2/7)^3}$$

$$c_1=\frac{1}{98}\cdot\frac{7^3}{2^3} =\frac{1}{2\cdot 7^2}\cdot\frac{7^3}{8} =\frac{7}{16}$$

2) Если $$c_6=100$$, $$c_9=100000$$, то

$$c_6=c_1q^5,\qquad c_9=c_1q^8$$

Разделим второе равенство на первое:

$$\frac{c_9}{c_6}=q^3$$

$$q^3=\frac{100000}{100}=1000,\qquad q=10$$

Тогда

$$c_1=\frac{c_6}{q^5}=\frac{100}{10^5}=0{,}001$$

Ответ

1) $$1:3$$; 2) $$c_1=\frac{7}{16}$$; 3) $$c_1=0{,}001$$.