Упр.832 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Просвещение: Какую сумму денег надо положить в банк под 10 % годовых, чтобы через два года на счёте стало 7260 р.? Докажите, что если последовательность (уn) — геометрическая прогрессия, то у4 у21 = y8 y17.

Пусть сумма вклада равна $$a$$. Тогда через два года на счёте будет

$$a\left(1+\frac{10}{100}\right)^2=7260.$$

Получаем

$$a\left(\frac{11}{10}\right)^2=7260,$$

$$a\cdot \frac{121}{100}=7260,$$

$$a=7260\cdot \frac{100}{121}=6000.$$

Докажем равенство для геометрической прогрессии. Если $$y_n$$ — геометрическая прогрессия, то

$$y_n=y_1q^{n-1}.$$

Тогда

$$y_4=y_1q^3,\quad y_{21}=y_1q^{20},\quad y_8=y_1q^7,\quad y_{17}=y_1q^{16}.$$

Следовательно,

$$y_4y_{21}=y_1q^3\cdot y_1q^{20}=y_1^2q^{23},$$

$$y_8y_{17}=y_1q^7\cdot y_1q^{16}=y_1^2q^{23}.$$

Значит,

$$y_4y_{21}=y_8y_{17}.$$

Ответ

$$6000\text{ р.}$$

$$y_4y_{21}=y_8y_{17}.$$