Упр.831 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Просвещение: Вкладчик положил в банк 25 000 р. под 8 % годовых. Какая сумма будет у него на счёте через три года? Докажите, что если последовательность (xn) — геометрическая прогрессия, то x3 x13 = х5 х11.

Пусть начальная сумма вклада равна $$25000$$ р., а годовая ставка — $$8\% = 0{,}08$$.

Тогда через три года сумма на счёте будет равна

$$ N = 25000\left(1+0{,}08\right)^3 = 25000 \cdot 1{,}08^3. $$

Вычислим:

$$ 1{,}08^3 = 1{,}259712, $$

значит

$$ N = 25000 \cdot 1{,}259712 = 31492{,}8. $$

Следовательно, через три года на счёте будет $$31492$$ р. $$80$$ к.

Докажем второе утверждение. Если $$\left(x_n\right)$$ — геометрическая прогрессия, то

$$ x_n = x_1 q^{n-1}, $$

где $$q$$ — знаменатель прогрессии.

Тогда

$$ x_3 = x_1 q^2,\quad x_{13} = x_1 q^{12},\quad x_5 = x_1 q^4,\quad x_{11} = x_1 q^{10}. $$

Перемножим:

$$ x_3x_{13} = \left(x_1 q^2\right)\left(x_1 q^{12}\right) = x_1^2 q^{14}, $$

$$ x_5x_{11} = \left(x_1 q^4\right)\left(x_1 q^{10}\right) = x_1^2 q^{14}. $$

Следовательно,

$$ x_3x_{13} = x_5x_{11}. $$

Ответ

$$31492{,}8$$ р., то есть $$31492$$ р. $$80$$ к.; $$x_3x_{13}=x_5x_{11}$$.