Упр.83 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)
1) 3v7; 2) -2v7; 3) v7+1,3; 4) 0,1v7+0,3. Известно, что b > 0 и а > b. Является ли верным при всех указанных значениях а и b неравенство:
1) а^2 + а > b^2 + b;
2) а^2 — а > b^2 — b;
3) 2 — а^2 < 2 - b^2;
4) а + 1/a > b + 1/b?
$$2{,}6<\sqrt7<2{,}7$$
Умножим неравенство на $$3$$:
$$7{,}8<3\sqrt7<8{,}1$$
Умножим на $$-2$$, меняя знаки неравенства:
$$-5{,}4<-2\sqrt7<-5{,}2$$
Прибавим $$1{,}3$$:
$$3{,}9<\sqrt7+1{,}3<4$$
Умножим на $$0{,}1$$ и прибавим $$0{,}3$$:
$$0{,}56<0{,}1\sqrt7+0{,}3<0{,}57$$
Известно, что $$b>0$$ и $$a>b$$.
1) $$a^2+a>b^2+b$$
$$a^2-b^2+a-b>0$$
$$ (a-b)(a+b)+(a-b)>0 $$
$$ (a-b)(a+b+1)>0 $$
Так как $$a-b>0$$ и $$a+b+1>0$$, неравенство верно.
2) $$a^2-a>b^2-b$$
$$a^2-b^2-a+b>0$$
$$ (a-b)(a+b)-(a-b)>0 $$
$$ (a-b)(a+b-1)>0 $$
Это не всегда верно, так как знак $$a+b-1$$ не определён.
3) $$2-a^2<2-b^2$$
$$-a^2<-b^2$$
$$a^2>b^2$$
Так как $$a>b>0$$, то $$a^2>b^2$$, значит неравенство верно.
4) $$a+\frac1a>b+\frac1b$$
$$a-b+\frac1a-\frac1b>0$$
$$ (a-b)+\frac{b-a}{ab}>0 $$
$$ (a-b)\left(1-\frac1{ab}\right)>0 $$
Знак выражения зависит от $$ab$$, поэтому неравенство не является верным при всех допустимых $$a$$ и $$b$$.
Ответ
1) верно; 2) неверно; 3) верно; 4) неверно.
