Упр.83 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1. Известно, что $$2{,}6<\sqrt{7}<2{,}7$$. Оцените значение выражения: 1) $$3\sqrt{7}$$; 2) $$-2\sqrt{7}$$; 3) $$\sqrt{7}+1{,}3$$; 4) $$0{,}1\sqrt{7}+0{,}3$$.
2. Известно, что $$b>0$$ и $$a>b$$. Является ли верным при всех указанных значениях $$a$$ и $$b$$ неравенство: 1) $$a^2+a>b^2+b$$; 2) $$a^2-a>b^2-b$$; 3) $$2-a^2<2-b^2$$; 4) $$a+\frac{1}{a}>b+\frac{1}{b}$$?

1. $$2{,}6<\sqrt7<2{,}7$$

   Умножим неравенство на $$3$$:

   $$7{,}8<3\sqrt7<8{,}1$$

   Умножим на $$-2$$, меняя знаки неравенства:

   $$-5{,}4<-2\sqrt7<-5{,}2$$

   Прибавим $$1{,}3$$:

   $$3{,}9<\sqrt7+1{,}3<4$$

   Умножим на $$0{,}1$$ и прибавим $$0{,}3$$:

   $$0{,}56<0{,}1\sqrt7+0{,}3<0{,}57$$

2. Известно, что $$b>0$$ и $$a>b$$.

   1) $$a^2+a>b^2+b$$

   $$a^2-b^2+a-b>0$$

   $$(a-b)(a+b)+(a-b)>0$$

   $$(a-b)(a+b+1)>0$$

   Так как $$a-b>0$$ и $$a+b+1>0$$, неравенство верно.

   2) $$a^2-a>b^2-b$$

   $$a^2-b^2-a+b>0$$

   $$(a-b)(a+b)-(a-b)>0$$

   $$(a-b)(a+b-1)>0$$

   Это не всегда верно, так как знак $$a+b-1$$ не определён.

   3) $$2-a^2<2-b^2$$

   $$-a^2<-b^2$$

   $$a^2>b^2$$

   Так как $$a>b>0$$, то $$a^2>b^2$$, значит неравенство верно.

   4) $$a+\frac1a>b+\frac1b$$

   $$a-b+\frac1a-\frac1b>0$$

   $$(a-b)+\frac{b-a}{ab}>0$$

   $$(a-b)\left(1-\frac1{ab}\right)>0$$

   Знак выражения зависит от $$ab$$, поэтому неравенство не является верным при всех допустимых $$a$$ и $$b$$.

Ответ

1) верно; 2) неверно; 3) верно; 4) неверно.