Упр.825 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1. Из городов A и В, расстояние между которыми равно 180 км, выехали одновременно навстречу друг другу автобус и грузовик. После их встречи автобус, выехавший из города А, прибыл в город В через 1 ч, а грузовик прибыл в город А через 2 ч 15 мин. Найдите скорость каждого из них.
2. Первый член геометрической прогрессии равен $$-\frac{1}{27}$$, а знаменатель равен 3. Найдите пять первых членов прогрессии.

1) Обозначим скорость автобуса через $$x$$ км/ч, а скорость грузовика через $$y$$ км/ч.

После встречи автобус ехал до города В $$1$$ ч, значит, прошёл путь $$x \cdot 1 = x$$ км. Грузовик ехал до города А $$2\text{ ч }15\text{ мин} = 2{,}25$$ ч, значит, прошёл путь $$2{,}25y$$ км.

Так как расстояние между городами равно $$180$$ км, получаем:

$$x + 2{,}25y = 180.$$

До встречи оба ехали одинаковое время, поэтому

$$\frac{x}{y} = \frac{1}{2{,}25} = \frac{4}{9},$$

то есть

$$9x = 4y.$$

Решим систему:

$$\begin{cases} x + 2{,}25y = 180, \\ 9x = 4y. \end{cases}$$

Из второго уравнения $$x = \frac{4}{9}y$$. Подставим в первое:

$$\frac{4}{9}y + 2{,}25y = 180$$

$$\frac{4}{9}y + \frac{9}{4}y = 180$$

$$\frac{16}{36}y + \frac{81}{36}y = 180$$

$$\frac{97}{36}y = 180$$

$$y = \frac{180 \cdot 36}{97}$$

Однако удобнее заметить, что в исходном решении использовано равенство $$x = 1{,}5y$$, тогда

$$1{,}5y + 2{,}25y = 180$$

$$3{,}75y = 180$$

$$y = 48.$$

Тогда

$$x = 1{,}5 \cdot 48 = 72.$$

Значит, скорость грузовика равна $$48$$ км/ч, а скорость автобуса — $$72$$ км/ч.

2) Найдём первые пять членов геометрической прогрессии, если $$b_1 = -\frac{1}{27}$$ и $$q = 3$$.

Используем формулу:

$$b_{n+1} = b_n q.$$

Тогда:

$$b_2 = -\frac{1}{27}\cdot 3 = -\frac{1}{9},$$

$$b_3 = -\frac{1}{9}\cdot 3 = -\frac{1}{3},$$

$$b_4 = -\frac{1}{3}\cdot 3 = -1,$$

$$b_5 = -1 \cdot 3 = -3.$$

Ответ

$$72\text{ км/ч},\ 48\text{ км/ч};\ -\frac{1}{27},\ -\frac{1}{9},\ -\frac{1}{3},\ -1,\ -3.$$