Упр.819 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Просвещение: Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 41 см, а его площадь — 180 см^2. Найдите катеты треугольника. Найдите седьмой член геометрической прогрессии (bn), если b8 = 16, а знаменатель прогрессии q = 3/4.

Обозначим катеты прямоугольного треугольника через $$x$$ и $$y$$.

По условию площадь равна $$180\text{ см}^2$$, значит

$$\frac{1}{2}xy=180,$$

откуда

$$xy=360.$$

Гипотенуза равна $$41\text{ см}$$, поэтому по теореме Пифагора

$$x^2+y^2=41^2=1681.$$

Подставим $$y=\frac{360}{x}$$ в уравнение:

$$x^2+\left(\frac{360}{x}\right)^2=1681,$$

$$x^4-1681x^2+129600=0.$$

Обозначим $$t=x^2$$. Тогда получаем квадратное уравнение

$$t^2-1681t+129600=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=1681^2-4\cdot129600=2307361=1519^2.$$

Тогда

$$t_{1,2}=\frac{1681\pm1519}{2},$$

$$t_1=81,\quad t_2=1600.$$

Следовательно,

$$x=9 \text{ или } x=40.$$

Тогда соответствующие значения второго катета:

$$y=\frac{360}{9}=40,\qquad y=\frac{360}{40}=9.$$

Значит, катеты треугольника равны $$9\text{ см}$$ и $$40\text{ см}$$.

Теперь найдём седьмой член геометрической прогрессии. Так как $$b_8=16$$ и $$q=\frac{3}{4},$$ то

$$b_8=b_7q,$$

откуда

$$b_7=\frac{b_8}{q}=\frac{16}{\frac{3}{4}}=16\cdot\frac{4}{3}=\frac{64}{3}=21\frac{1}{3}.$$

Ответ

$$9\text{ см} \text{ и } 40\text{ см};\quad 21\frac{1}{3}.$$