Упр.817 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Задача

1) система
х — у = 2,
хy = а;
2) система
x^2 + у^2 = 6,
х + y = а? Среди данных последовательностей укажите геометрические прогрессии, первый член и знаменатель каждой из них:
1) 2, 6, 18, 36;
2) 4, 8, 16, 32;
3) 10, 20, 30, 40;
4) 81, 27, 9, 3;
5) 2, -2, 2, -2;
6) -1/4, 1/2, -1, 2;
7) -9, -9, -9, -9;
8) 1, 2, 3, 5;
9) -корень(2), 2, 2корень(2), 4.

Подробный ответ

Из первого уравнения выразим $$y$$:
$$x-y=2,\quad y=x-2.$$
Подставим во второе уравнение:
$$x(x-2)=a,$$
$$x^2-2x-a=0.$$
Чтобы система имела единственное решение, это квадратное уравнение должно иметь один корень, то есть $$D=0$$:
$$D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot(-a)=4+4a=0,$$
$$a=-1.$$
Из второго уравнения выразим $$y$$:
$$x+y=a,\quad y=a-x.$$
Подставим в первое уравнение:
$$x^2+(a-x)^2=6,$$
$$2x^2-2ax+a^2-6=0.$$
Для единственного решения дискриминант должен быть равен нулю:
$$D=(-2a)^2-4\cdot 2\cdot(a^2-6)=0,$$
$$4a^2-8a^2+48=0,$$
$$a^2=12,$$
$$a=\pm 2\sqrt{3}.$$

Теперь проверим последовательности. Геометрическая прогрессия — это последовательность, в которой отношение каждого следующего члена к предыдущему постоянно.

$$2,\,6,\,18,\,36$$ — не геометрическая, так как $$\frac{6}{2}=3,\ \frac{18}{6}=3,\ \frac{36}{18}=2.$$
$$4,\,8,\,16,\,32$$ — геометрическая, $$b_1=4,\ q=2.$$
$$10,\,20,\,30,\,40$$ — не геометрическая, так как отношения не равны.
$$81,\,27,\,9,\,3$$ — геометрическая, $$b_1=81,\ q=\frac13.$$
$$2,\,-2,\,2,\,-2$$ — геометрическая, $$b_1=2,\ q=-1.$$
$$-\frac14,\,\frac12,\,-1,\,2$$ — геометрическая, $$b_1=-\frac14,\ q=-2.$$
$$-9,\,-9,\,-9,\,-9$$ — геометрическая, $$b_1=-9,\ q=1.$$
$$1,\,2,\,3,\,5$$ — не геометрическая.
$$-\sqrt2,\,2,\,2\sqrt2,\,4$$ — геометрическая, $$b_1=-\sqrt2,\ q=-\sqrt2.$$