Упр.816 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)
1) прямой Зх — у — 5 = 0 и параболы у = 2/3х^2 — 2х + 4;
2) прямой 2х — 3y -3 = 0 и гиперболы xу = 3;
3) окружности х^2 + у^2 = 13 и гиперболы хy = 6. Найдите все пары (х; у), удовлетворяющие уравнению
корень(x^2 + 1) + корень(y^2 + 1) = x^2 + у^2 + 2.
Из уравнения прямой выразим $$y$$:
$$3x-y-5=0,\quad y=3x-5.$$
Подставим в уравнение параболы:
$$3x-5=\frac{2}{3}x^2-2x+4.$$
Получаем:
$$\frac{2}{3}x^2-5x+9=0,$$
$$2x^2-15x+27=0.$$
Найдём корни:
$$D=15^2-4\cdot 2\cdot 27=225-216=9,$$
$$x=\frac{15\pm 3}{4}.$$
Тогда
$$x_1=3,\quad x_2=\frac{9}{2}.$$
Найдём соответствующие значения $$y$$:
$$y_1=3\cdot 3-5=4,$$
$$y_2=3\cdot \frac{9}{2}-5=\frac{17}{2}.$$
Точки пересечения: $$ (3;4),\ \left(\frac{9}{2};\frac{17}{2}\right). $$
Из уравнения гиперболы выразим $$y$$:
$$xy=3,\quad y=\frac{3}{x}.$$
Подставим в уравнение прямой:
$$2x-3\cdot \frac{3}{x}-3=0.$$
Умножим на $$x$$:
$$2x^2-3x-9=0.$$
Найдём корни:
$$D=3^2+4\cdot 2\cdot 9=81,$$
$$x=\frac{3\pm 9}{4}.$$
Тогда
$$x_1=3,\quad x_2=-\frac{3}{2}.$$
Найдём $$y$$:
$$y_1=\frac{3}{3}=1,\quad y_2=\frac{3}{-\frac{3}{2}}=-2.$$
Точки пересечения: $$ (3;1),\ \left(-\frac{3}{2};-2\right). $$
Из уравнения гиперболы выразим $$y$$:
$$xy=6,\quad y=\frac{6}{x}.$$
Подставим в уравнение окружности:
$$x^2+\left(\frac{6}{x}\right)^2=13.$$
Умножим на $$x^2$$:
$$x^4-13x^2+36=0.$$
Обозначим $$t=x^2$$. Тогда:
$$t^2-13t+36=0,$$
$$ (t-4)(t-9)=0.$$
Следовательно, $$x^2=4$$ или $$x^2=9$$.
1) Если $$x^2=4$$, то $$x=\pm 2$$, а $$y=\frac{6}{x}$$, значит:
$$ (2;3),\ (-2;-3). $$
2) Если $$x^2=9$$, то $$x=\pm 3$$, а $$y=\frac{6}{x}$$, значит:
$$ (3;2),\ (-3;-2). $$
Точки пересечения: $$ (2;3),\ (-2;-3),\ (3;2),\ (-3;-2). $$
Рассмотрим уравнение:
$$\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}=x^2+y^2+2.$$
Так как для любого числа $$t$$ верно $$\sqrt{t^2+1}\le t^2+1$$, то
$$\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}\le x^2+y^2+2.$$
Равенство возможно только тогда, когда одновременно
$$\sqrt{x^2+1}=x^2+1,\quad \sqrt{y^2+1}=y^2+1.$$
Это выполняется лишь при $$x=0$$ и $$y=0$$.
Проверка:
$$\sqrt{0^2+1}+\sqrt{0^2+1}=1+1=2,$$
$$0^2+0^2+2=2.$$
Значит, подходит пара $$ (0;0). $$
Ответ
1) $$ (3;4),\ \left(\frac{9}{2};\frac{17}{2}\right) $$; 2) $$ (3;1),\ \left(-\frac{3}{2};-2\right) $$; 3) $$ (2;3),\ (-2;-3),\ (3;2),\ (-3;-2) $$; 4) $$ (0;0) $$.
