Упр.814 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)
1) система
х — 4у = -6,
х^2 + 4у^2 = 8;
2) система
3х + у = -2,
Зх^2 — 2ху = 28;
3) система
х + 2у = 13,
xy = 15;
4) система
Зх — 2у = 18,
xy = -12; Упростите выражение:
1) (корень(а) — корень(b))/корень(ab) + (корень(a) — корень(c));
2) (d — 49)/(d + 12корень(d)) * (4корень(d) + 24)/(3корень(d) + 21).
$$\begin{cases} x-4y=-6,\\ x^2+4y^2=8 \end{cases}$$
Из первого уравнения:
$$x=4y-6.$$
Подставим во второе:
$$\begin{aligned} (4y-6)^2+4y^2&=8,\\ 16y^2-48y+36+4y^2&=8,\\ 20y^2-48y+28&=0,\\ 5y^2-12y+7&=0. \end{aligned}$$
$$D=12^2-4\cdot 5\cdot 7=144-140=4.$$
Тогда
$$y_1=\frac{12-2}{10}=1,\qquad y_2=\frac{12+2}{10}=\frac{7}{5}.$$
Найдём $x$:
$$x_1=4\cdot 1-6=-2,\qquad x_2=4\cdot \frac{7}{5}-6=-\frac{2}{5}.$$$$\begin{cases} 3x+y=-2,\\ 3x^2-2xy=28 \end{cases}$$
Из первого уравнения:
$$y=-3x-2.$$
Подставим во второе:
$$\begin{aligned} 3x^2-2x(-3x-2)&=28,\\ 3x^2+6x^2+4x&=28,\\ 9x^2+4x-28&=0. \end{aligned}$$
$$D=4^2-4\cdot 9\cdot(-28)=16+1008=1024.$$
Тогда
$$x_1=\frac{-4+32}{18}=\frac{14}{9},\qquad x_2=\frac{-4-32}{18}=-2.$$
Найдём $y$:
$$y_1=-3\cdot \frac{14}{9}-2=-\frac{20}{3},\qquad y_2=-3\cdot(-2)-2=4.$$$$\begin{cases} x+2y=13,\\ xy=15 \end{cases}$$
Из первого уравнения:
$$x=13-2y.$$
Подставим во второе:
$$\begin{aligned} y(13-2y)&=15,\\ 2y^2-13y+15&=0. \end{aligned}$$
$$D=13^2-4\cdot 2\cdot 15=169-120=49.$$
Тогда
$$y_1=\frac{13-7}{4}=\frac{3}{2},\qquad y_2=\frac{13+7}{4}=5.$$
Найдём $x$:
$$x_1=13-2\cdot \frac{3}{2}=10,\qquad x_2=13-2\cdot 5=3.$$$$\begin{cases} 3x-2y=18,\\ xy=-12 \end{cases}$$
Из первого уравнения:
$$x=\frac{18+2y}{3}.$$
Подставим во второе:
$$\begin{aligned} y\cdot \frac{18+2y}{3}&=-12,\\ 18y+2y^2&=-36,\\ y^2+9y+18&=0. \end{aligned}$$
$$D=9^2-4\cdot 18=81-72=9.$$
Тогда
$$y_1=\frac{-9+3}{2}=-3,\qquad y_2=\frac{-9-3}{2}=-6.$$
Найдём $x$:
$$x_1=\frac{18+2(-3)}{3}=4,\qquad x_2=\frac{18+2(-6)}{3}=2.$$$$\begin{cases} x^2-y^2=21,\\ x+y=-3 \end{cases}$$
Из второго уравнения:
$$x=-3-y.$$
Подставим в первое:
$$\begin{aligned} (-3-y)^2-y^2&=21,\\ 9+6y+y^2-y^2&=21,\\ 6y&=12,\\ y&=2. \end{aligned}$$
Тогда
$$x=-3-2=-5.$$$$\begin{cases} x^2-xy+y^2=7,\\ x-y=1 \end{cases}$$
Из второго уравнения:
$$x=y+1.$$
Подставим в первое:
$$\begin{aligned} (y+1)^2-y(y+1)+y^2&=7,\\ y^2+2y+1-y^2-y+y^2&=7,\\ y^2+y-6&=0,\\ (y+3)(y-2)&=0. \end{aligned}$$
Тогда
$$y_1=-3,\qquad y_2=2.$$
Найдём $x$:
$$x_1=-3+1=-2,\qquad x_2=2+1=3.$$$$\begin{cases} (x-1)(y-1)=-2,\\ x+y=1 \end{cases}$$
Из второго уравнения:
$$x=1-y.$$
Подставим в первое:
$$\begin{aligned} (1-y-1)(y-1)&=-2,\\ -y(y-1)&=-2,\\ y^2-y-2&=0,\\ (y+1)(y-2)&=0. \end{aligned}$$
Тогда
$$y_1=-1,\qquad y_2=2.$$
Найдём $x$:
$$x_1=1-(-1)=2,\qquad x_2=1-2=-1.$$$$\begin{cases} (x-2)(y+1)=1,\\ x-y=3 \end{cases}$$
Из второго уравнения:
$$x=y+3.$$
Подставим в первое:
$$\begin{aligned} (y+3-2)(y+1)&=1,\\ (y+1)^2&=1. \end{aligned}$$
Тогда
$$y+1=1 \quad \text{или} \quad y+1=-1.$$
Отсюда
$$y_1=0,\qquad y_2=-2.$$
Найдём $x$:
$$x_1=3,\qquad x_2=1.$$$$\begin{cases} \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{3}{8},\\ x+y=12 \end{cases}$$
Из второго уравнения:
$$x=12-y.$$
Подставим в первое:
$$\begin{aligned} \frac{1}{12-y}+\frac{1}{y}&=\frac{3}{8},\\ \frac{12}{y(12-y)}&=\frac{3}{8},\\ 96&=3y(12-y),\\ y^2-12y+32&=0,\\ (y-4)(y-8)&=0. \end{aligned}$$
Тогда
$$y_1=4,\qquad y_2=8.$$
Найдём $x$:
$$x_1=8,\qquad x_2=4.$$$$\begin{cases} \dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}=\dfrac{4}{5},\\ y-x=4 \end{cases}$$
Из второго уравнения:
$$y=x+4.$$
Подставим в первое:
$$\begin{aligned} \frac{1}{x}-\frac{1}{x+4}&=\frac{4}{5},\\ \frac{4}{x(x+4)}&=\frac{4}{5},\\ x(x+4)&=5,\\ x^2+4x-5&=0,\\ (x-1)(x+5)&=0. \end{aligned}$$
Тогда
$$x_1=1,\qquad x_2=-5.$$
Найдём $y$:
$$y_1=5,\qquad y_2=-1.$$
Ответ
1) $$(-2; 1),\left(-\frac{2}{5}; \frac{7}{5}\right)$$; 2) $$\left(\frac{14}{9}; -\frac{20}{3}\right),(-2; 4)$$; 3) $$(10; \frac{3}{2}), (3; 5)$$; 4) $$(4; -3), (2; -6)$$; 5) $$(-5; 2)$$; 6) $$(-2; -3), (3; 2)$$; 7) $$(2; -1), (-1; 2)$$; 8) $$(3; 0), (1; -2)$$; 9) $$(8; 4), (4; 8)$$; 10) $$(1; 5), (-5; -1)$$.
Ход решения
$$\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{ab}}+\frac{\sqrt{a}-\sqrt{c}}{\sqrt{bc}}$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\begin{aligned} \frac{\sqrt{c}(\sqrt{a}-\sqrt{b})+\sqrt{a}(\sqrt{a}-\sqrt{c})}{\sqrt{abc}} &=\frac{\sqrt{ac}-\sqrt{bc}+a-\sqrt{ac}}{\sqrt{abc}}\\ &=\frac{a-\sqrt{bc}}{\sqrt{abc}}. \end{aligned}$$$$\frac{d-49}{d+12\sqrt{d}+36}\cdot \frac{4\sqrt{d}+24}{3\sqrt{d}+21}$$
Разложим на множители:
$$\begin{aligned} d-49&=(\sqrt{d}-7)(\sqrt{d}+7),\\ d+12\sqrt{d}+36&=(\sqrt{d}+6)^2,\\ 4\sqrt{d}+24&=4(\sqrt{d}+6),\\ 3\sqrt{d}+21&=3(\sqrt{d}+7). \end{aligned}$$
Тогда
$$\begin{aligned} \frac{(\sqrt{d}-7)(\sqrt{d}+7)}{(\sqrt{d}+6)^2}\cdot \frac{4(\sqrt{d}+6)}{3(\sqrt{d}+7)} &=\frac{4(\sqrt{d}-7)}{3(\sqrt{d}+6)}\\ &=\frac{4\sqrt{d}-28}{3\sqrt{d}+18}. \end{aligned}$$
Ответ
1) $$\frac{a-\sqrt{bc}}{\sqrt{abc}}$$; 2) $$\frac{4\sqrt{d}-28}{3\sqrt{d}+18}$$.
