Упр.813 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1) система
у — х^2 =3,
х + у = 5;
2) система
х — у = 7,
ху = -12;
3) система
y = х^2 — 4,
y = -х^2 + 4х — 4;
4) система
х^2 + у^2 = 25,
y = х^2 — 5.
При каком значении k графики функций у = kх — 3 и у = х^2 пересекаются в точке, абсцисса которой равна -2?

1. $$\begin{cases} y-x^2=3,\\ x+y=5 \end{cases}$$
   Тогда
   $$y=x^2+3,\qquad y=5-x.$$
   Точки пересечения найдём из уравнения
   $$x^2+3=5-x,$$
   $$x^2+x-2=0,$$
   $$\left(x+2\right)\left(x-1\right)=0.$$
   Отсюда
   $$x=-2 \text{ или } x=1.$$
   Тогда
   $$y=5-(-2)=7,\qquad y=5-1=4.$$
   Получаем точки пересечения:
   $$(-2;7),\ (1;4).$$

2. $$\begin{cases} x-y=7,\\ xy=-12 \end{cases}$$
   Тогда
   $$y=x-7,\qquad y=-\frac{12}{x}.$$
   Из равенства
   $$x-7=-\frac{12}{x}$$
   получаем
   $$x^2-7x+12=0,$$
   $$\left(x-3\right)\left(x-4\right)=0.$$
   Значит,
   $$x=3 \text{ или } x=4.$$
   Тогда
   $$y=3-7=-4,\qquad y=4-7=-3.$$
   Точки пересечения:
   $$\left(3;-4\right),\ \left(4;-3\right).$$

3. $$\begin{cases} y=x^2-4,\\ y=-x^2+4x-4 \end{cases}$$
   Приравняем правые части:
   $$x^2-4=-x^2+4x-4,$$
   $$2x^2-4x=0,$$
   $$2x\left(x-2\right)=0.$$
   Отсюда
   $$x=0 \text{ или } x=2.$$
   Тогда
   $$y=0^2-4=-4,\qquad y=2^2-4=0.$$
   Точки пересечения:
   $$\left(0;-4\right),\ \left(2;0\right).$$

4. $$\begin{cases} x^2+y^2=25,\\ y=x^2-5 \end{cases}$$
   Подставим второе уравнение в первое:
   $$x^2+\left(x^2-5\right)^2=25.$$
   Обозначим $$t=x^2$$. Тогда
   $$t+\left(t-5\right)^2=25,$$
   $$t+t^2-10t+25=25,$$
   $$t^2-9t=0,$$
   $$t\left(t-9\right)=0.$$
   Значит,
   $$t=0 \text{ или } t=9.$$
   Так как $$t=x^2,$$ получаем
   $$x=0,\ \pm 3.$$
   Найдём соответствующие значения $$y$$:
   $$x=0 \Rightarrow y=-5,$$
   $$x=\pm 3 \Rightarrow y=9-5=4.$$
   Точки пересечения:
   $$\left(-3;4\right),\ \left(0;-5\right),\ \left(3;4\right).$$

5. Графики функций $$y=kx-3$$ и $$y=x^2$$ пересекаются в точке с абсциссой $$x=-2$$. Тогда ордината этой точки для параболы равна
   $$y=(-2)^2=4.$$
   Подставим координаты точки $$(-2;4)$$ в уравнение прямой:
   $$4=k\cdot(-2)-3,$$
   $$-2k=7,$$
   $$k=-\frac{7}{2}.$$

Ответ

1) $$(-2;7),\ (1;4)$$;
2) $$\left(3;-4\right),\ \left(4;-3\right)$$;
3) $$\left(0;-4\right),\ \left(2;0\right)$$;
4) $$\left(-3;4\right),\ \left(0;-5\right),\ \left(3;4\right)$$;
5) $$k=-\frac{7}{2}.$$