Упр.812 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1) 5х^2 — х + а > 0;
2) ах^2 — 10х — 5 < 0; 3) ах^2 - 2(а - 1)х + 4а <= 0; 4) (а - 1)x^2 - (а + 1)х + а + 1 > 0? Вычислите:
1) 3^49/9^25;
2) 4^8/8^4;
3) (5^4 * 11^7)/55^6;
4) 12^5/18^3.

1. Чтобы неравенство $$5x^2-x+a>0$$ выполнялось при всех $$x\in\mathbb{R}$$, квадратный трёхчлен должен не иметь действительных корней и старший коэффициент должен быть положительным.

   $$D=(-1)^2-4\cdot 5\cdot a=1-20a<0$$

   $$20a>1,\quad a>\frac{1}{20}$$

2. Для неравенства $$ax^2-10x-5<0$$ при всех $$x\in\mathbb{R}$$ необходимо, чтобы ветви параболы были направлены вниз и корней не было.

   $$a<0$$

   $$D=(-10)^2-4\cdot a\cdot(-5)=100+20a<0$$

   $$20a<-100,\quad a<-5$$

3. Рассмотрим неравенство $$ax^2-2(a-1)x+4a\le 0.$$

   Чтобы оно выполнялось при всех $$x\in\mathbb{R}$$, нужно:

   $$a<0,\quad D\le 0$$

   $$D=\bigl(-2(a-1)\bigr)^2-4\cdot a\cdot 4a=4(a-1)^2-16a^2$$

   $$4(a-1)^2-16a^2\le 0$$

   $$a^2-2a+1-4a^2\le 0$$

   $$3a^2+2a-1\ge 0$$

   $$3a^2+2a-1=(3a-1)(a+1)$$

   Отсюда

   $$a\le -1 \quad \text{или} \quad a\ge \frac13$$

   С учётом условия $$a<0$$ получаем:

   $$a\le -1$$

4. Для неравенства $$ (a-1)x^2-(a+1)x+a+1>0 $$ при всех $$x\in\mathbb{R}$$ нужно:

   $$a-1>0,\quad D<0$$

   $$D=(a+1)^2-4(a-1)(a+1)$$

   $$D=a^2+2a+1-4(a^2-1)=-3a^2+2a+5$$

   $$-3a^2+2a+5<0$$

   $$3a^2-2a-5>0$$

   $$3a^2-2a-5=(3a-5)(a+1)$$

   Отсюда

   $$a<-1 \quad \text{или} \quad a>\frac53$$

   С учётом условия $$a>1$$ получаем:

   $$a>\frac53$$

Ответ

1) $$\left(\frac{1}{20};+\infty\right)$$; 2) $$(-\infty;-5)$$; 3) $$(-\infty;-1]$$; 4) $$\left(\frac53;+\infty\right)$$.