Упр.811 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)
- При каких значениях $$a$$ имеет два различных корня уравнение:
1) $$2x^2+ax+a-2=0$$;
2) $$(2a-1)x^2+(a-3)x+1=0$$;
3) $$ax^2-(3a+1)x+a=0$$? - Постройте график функции:
1) $$y=x^2-4x+4$$;
2) $$y=2x^2+8x+8$$.
Используя построенный график, найдите область значений, промежутки возрастания и убывания функции.
$$2x^2+ax+a-2=0$$
Чтобы уравнение имело два различных корня, нужно, чтобы дискриминант был положительным:
$$D=a^2-4\cdot 2\cdot (a-2)=a^2-8a+16=(a-4)^2>0.$$
Отсюда
$$a\ne 4.$$
$$\left(2a-1\right)x^2+\left(a-3\right)x+1=0$$
Это квадратное уравнение при $$2a-1\ne 0,$$ то есть при $$a\ne \frac12.$$
Для двух различных корней нужно:
$$D=\left(a-3\right)^2-4\left(2a-1\right)\cdot 1=a^2-14a+13=(a-1)(a-13)>0.$$
Решаем неравенство:
$$a<1 \quad \text{или} \quad a>13.$$
С учётом условия $$a\ne \frac12$$ получаем:
$$a\in(-\infty;\tfrac12)\cup(\tfrac12;1)\cup(13;+\infty).$$
$$ax^2-(3a+1)x+a=0$$
Это квадратное уравнение при $$a\ne 0.$$
Тогда
$$D=(3a+1)^2-4a\cdot a=9a^2+6a+1-4a^2=5a^2+6a+1=(5a+1)(a+1)>0.$$
Решаем неравенство:
$$a<-1 \quad \text{или} \quad a>-\frac15.$$
С учётом $$a\ne 0$$ получаем:
$$a\in(-\infty;-1)\cup\left(-\frac15;0\right)\cup(0;+\infty).$$
Построим графики функций.
1) $$y=x^2-4x+4=(x-2)^2.$$
Это парабола с вершиной $$\left(2;0\right)$$, ветви направлены вверх.
Область значений:
$$E(y)=[0;+\infty).$$
Убывает на промежутке $$(-\infty;2],$$ возрастает на промежутке $$[2;+\infty).$$
2) $$y=2x^2+8x+8=2(x+2)^2.$$
Это парабола с вершиной $$\left(-2;0\right)$$, ветви направлены вверх.
Область значений:
$$E(y)=[0;+\infty).$$
Убывает на промежутке $$(-\infty;-2],$$ возрастает на промежутке $$[-2;+\infty).$$
Ответ
1) $$a\in(-\infty;4)\cup(4;+\infty).$$
2) $$a\in(-\infty;\tfrac12)\cup(\tfrac12;1)\cup(13;+\infty).$$
3) $$a\in(-\infty;-1)\cup\left(-\tfrac15;0\right)\cup(0;+\infty).$$
1) $$y=(x-2)^2,$$ $$E(y)=[0;+\infty),$$ убывает на $$(-\infty;2],$$ возрастает на $$[2;+\infty).$$
2) $$y=2(x+2)^2,$$ $$E(y)=[0;+\infty),$$ убывает на $$(-\infty;-2],$$ возрастает на $$[-2;+\infty).$$
