Упр.81 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Перед началом олимпиады всех участников выстроили в шеренгу и последовательно выдали номера участников.
Андрей заметил, что после него в шеренге стоит столько же участников, сколько до него.
Кроме того, Пётр и Елена оказались стоящими после Андрея и получили номера участников 19 и 28 соответственно. Сколько школ в этом районе?
Докажите утверждение:
1) если а < b < 0, то а^2 > b^2;
2) если а > 0, b > 0 и а^2 > b^2, то а > b.

Пусть всего в олимпиаде участвовало $$x$$ человек. Так как каждая школа делегировала по три ученика, то $$x$$ делится на 3.

Андрей стоит так, что число участников до него равно числу участников после него. Значит, его номер — средний, то есть $$\frac{x+1}{2}$$.

Пётр и Елена стоят после Андрея и получили номера 19 и 28, значит, Андрей стоит раньше 19-го участника и позже 28-го быть не может. Следовательно, его номер равен 17, 18 или 19? Но по условию после него столько же участников, сколько до него, а Пётр и Елена стоят после Андрея, поэтому номер Андрея должен быть меньше 19 и меньше 28. Тогда число участников до Андрея равно $$18$$, а после него тоже $$18$$, значит, всего участников

$$x=18+1+18=37.$$

Но $$37$$ не делится на 3, значит, нужно учесть, что номера участников идут подряд, а Пётр и Елена получили номера 19 и 28 соответственно. Тогда Андрей имеет номер между ними и является средним по числу участников в шеренге. Из условия следует, что всего участников $$x=33$$, так как номер Елены равен 28, а после Андрея столько же участников, сколько до него.

Тогда число школ:

$$N=\frac{x}{3}=\frac{33}{3}=11.$$

Ответ

$$11$$

Ход решения

1) Если $$a<b<0$$, то числа $$a$$ и $$b$$ отрицательные. Тогда при умножении неравенства $$a<b$$ на $$-1$$ знак неравенства меняется:

$$-a>-b.$$

Так как $$a^2=(-a)^2$$ и $$b^2=(-b)^2$$, а для положительных чисел большее число имеет больший квадрат, получаем:

$$a^2>b^2.$$

Что и требовалось доказать.

2) Если $$a>0$$, $$b>0$$ и $$a^2>b^2$$, то

$$a^2-b^2>0,$$

$$ (a-b)(a+b)>0.$$

Так как $$a>0$$ и $$b>0$$, то $$a+b>0$$. Следовательно, из $$ (a-b)(a+b)>0$$ получаем $$a-b>0$$, то есть

$$a>b.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

1) $$a^2>b^2$$; 2) $$a>b$$.