Упр.809 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Задача

1) (x^2 — 16)/|x + 1| <= 0; 2) (х^2 - 5х - 14)/|х - 8| >= 0. Докажите, что если сумма п первых членов последовательности вычисляется по формуле Sn = n^2 — 3n, то эта последовательность является арифметической прогрессией. Найдите первый член и разность этой прогрессии.

Подробный ответ

$$\frac{x^2-16}{|x+1|}\le 0$$
Так как $$|x+1|>0$$ при $$x\ne -1$$, то дробь не положительна тогда и только тогда, когда числитель не положителен:
$$x^2-16\le 0,\quad x\ne -1$$
$$ (x-4)(x+4)\le 0 $$
$$ -4\le x\le 4,\quad x\ne -1 $$
Следовательно,
$$x\in[-4;-1)\cup(-1;4]$$
$$\frac{x^2-5x-14}{|x-8|}\ge 0$$
Так как $$|x-8|>0$$ при $$x\ne 8$$, то нужно решить неравенство
$$x^2-5x-14\ge 0,\quad x\ne 8$$
$$ (x-7)(x+2)\ge 0 $$
$$x\in(-\infty;-2]\cup[7;+\infty),\quad x\ne 8$$
Итак,
$$x\in(-\infty;-2]\cup[7;8)\cup(8;+\infty)$$
Пусть $$S_n=n^2-3n$$ — сумма первых $$n$$ членов последовательности. Тогда
$$a_n=S_n-S_{n-1}$$
Найдём $$S_{n-1}$$:
$$S_{n-1}=(n-1)^2-3(n-1)=n^2-5n+4$$
Тогда
$$a_n=(n^2-3n)-(n^2-5n+4)=2n-4$$
Это линейная формула вида $$a_n=a_1+d(n-1)$$, значит последовательность является арифметической прогрессией.
Найдём первый член и разность:
$$a_1=2\cdot 1-4=-2$$
$$a_2=2\cdot 2-4=0$$
$$d=a_2-a_1=0-(-2)=2$$