Упр.808 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1) система
х^2 — 5х — б < 0, х > — 1,2;
2) система
х^2 — 5х — 6 < 0, х > 0;
3) система
х^2 — 5х — 6 < 0, х >= 6;
4) система
х^2 — 5х — 6 <= 0, х >= 6; (Задача Гипсикла Александрийского.)
Докажите, что в арифметической прогрессии с чётным количеством членов, состоящей из целых чисел, сумма второй половины больше суммы первой половины на число, кратное квадрату половины количества членов.

1. $$\begin{cases} x^2-5x-6<0,\\ x>-1{,}2 \end{cases}$$
   Разложим квадратный трёхчлен на множители:
   $$x^2-5x-6=(x+1)(x-6).$$
   Тогда
   $$ (x+1)(x-6)<0, \quad -1<x<6. $$
   Пересекаем с условием $$x>-1{,}2$$:
   $$x\in(-1;6).$$
2. $$\begin{cases} x^2-5x-6<0,\\ x>0 \end{cases}$$
   Имеем
   $$ (x+1)(x-6)<0, \quad -1<x<6. $$
   Пересечение с $$x>0$$:
   $$x\in(0;6).$$
3. $$\begin{cases} x^2-5x-6<0,\\ x\ge 6 \end{cases}$$
   Из первого неравенства:
   $$-1<x<6.$$
   Это не пересекается с условием $$x\ge 6$$, значит решений нет.
4. $$\begin{cases} x^2-5x-6\le 0,\\ x\ge 6 \end{cases}$$
   Тогда
   $$ (x+1)(x-6)\le 0, \quad -1\le x\le 6. $$
   Пересечение с $$x\ge 6$$ даёт:
   $$x=6.$$
5. $$\begin{cases} 6x^2+x-2>0,\\ x>1 \end{cases}$$
   Найдём корни квадратного трёхчлена:
   $$D=1+4\cdot 6\cdot 2=49,$$
   $$x_1=\frac{-1-7}{12}=-\frac23,\qquad x_2=\frac{-1+7}{12}=\frac12.$$
   Тогда
   $$\left(x+\frac23\right)\left(x-\frac12\right)>0,$$
   откуда
   $$x\in\left(-\infty;-\frac23\right)\cup\left(\frac12;+\infty\right).$$
   С учётом $$x>1$$ получаем:
   $$x\in(1;+\infty).$$
6. $$\begin{cases} 6x^2+x-2>0,\\ x>-\frac13 \end{cases}$$
   Из первого неравенства:
   $$x\in\left(-\infty;-\frac23\right)\cup\left(\frac12;+\infty\right).$$
   Пересечение с $$x>-\frac13$$:
   $$x\in\left(\frac12;+\infty\right).$$
7. $$\begin{cases} 6x^2+x-2>0,\\ x>-2 \end{cases}$$
   Из первого неравенства:
   $$x\in\left(-\infty;-\frac23\right)\cup\left(\frac12;+\infty\right).$$
   Пересечение с $$x>-2$$:
   $$x\in\left(-2;-\frac23\right)\cup\left(\frac12;+\infty\right).$$

Ответ

1) $$(-1;6)$$;
2) $$(0;6)$$;
3) $$\varnothing$$;
4) $$6$$;
5) $$(1;+\infty)$$;
6) $$\left(\frac12;+\infty\right)$$;
7) $$\left(-2;-\frac23\right)\cup\left(\frac12;+\infty\right)$$.

Доказательство. Пусть арифметическая прогрессия состоит из $$2n$$ членов: $$a_1,a_2,\dots,a_{2n}$$, где $$a_k=a_1+d(k-1)$$. Тогда сумма второй половины минус сумма первой половины равна
$$ \sum_{k=n+1}^{2n} a_k-\sum_{k=1}^{n} a_k. $$
Сгруппируем попарно:
$$ (a_{n+1}-a_1)+(a_{n+2}-a_2)+\dots+(a_{2n}-a_n). $$
Каждая разность имеет вид
$$ a_{n+i}-a_i=d\cdot n \quad (i=1,2,\dots,n). $$
Значит,
$$ \sum_{k=n+1}^{2n} a_k-\sum_{k=1}^{n} a_k=n\cdot dn=d n^2. $$
Так как количество членов чётно, то $$n^2$$ — квадрат половины количества членов. Следовательно, разность сумм кратна квадрату половины количества членов, что и требовалось доказать.