Упр.807 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Задача

1) 1/3x^2 + 3х + 6 < 0; 2) -4х^2 + Зх + 1 >= 0. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии, у которой среднее арифметическое n первых членов при любом n равно их количеству.

Подробный ответ

$$\frac13x^2+3x+6<0$$
Умножим неравенство на $$3$$:
$$x^2+9x+18<0$$
Найдём корни квадратного трёхчлена:
$$D=9^2-4\cdot 18=81-72=9$$
$$x_{1,2}=\frac{-9\pm 3}{2}$$
$$x_1=-6,\quad x_2=-3$$
Тогда
$$x\in(-6;-3)$$
Целые решения:
$$x\in\{-5;-4\}$$
$$-4x^2+3x+1\ge 0$$
Умножим неравенство на $$-1$$, изменив знак неравенства:
$$4x^2-3x-1\le 0$$
Найдём корни квадратного трёхчлена:
$$D=(-3)^2-4\cdot 4\cdot(-1)=9+16=25$$
$$x_{1,2}=\frac{3\pm 5}{8}$$
$$x_1=-\frac14,\quad x_2=1$$
Тогда
$$x\in\left[-\frac14;1\right]$$
Целые решения:
$$x\in\{0;1\}$$
Пусть $$a_1$$ — первый член арифметической прогрессии, $$d$$ — разность.
Среднее арифметическое первых $$n$$ членов равно их количеству, то есть
$$\frac{S_n}{n}=n$$
Следовательно,
$$S_n=n^2$$
Но для арифметической прогрессии
$$S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n$$
Тогда
$$\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n=n^2$$
При $$n\ne 0$$ получаем
$$2a_1+d(n-1)=2n$$
Это равенство должно выполняться при любом $$n$$, значит, сравниваем коэффициенты:
$$d=2,\quad 2a_1-d=0$$
Отсюда
$$a_1=1$$