Упр.806 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1) х^2 — 4х + 3 > 0;
2) х^2 — 6х — 40 <= 0; 3) х^2 + х + 1 >= 0;
4) х^2 — х + 1 < 0; 5) -3х^2 + 2х + 1 > 0;
6) х — х^2 < 0; 7) х^2 + 25х >= 0;
8) 0,1x^2 — 2 <= 0. Решите уравнение: 1) 11 + 19 + 27 + ... + (8n + 3) = 470, где n — натуральное число; 2) 1 + 5 + 9 + ... + х = 630, где х — натуральное число.

1. $$x^2-4x+3>0$$
   $$x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$$
   Произведение положительно, когда оба множителя одного знака:
   $$x<1 \text{ или } x>3$$
2. $$x^2-6x-40\le 0$$
   $$D=36+160=196$$
   $$x_{1,2}=\frac{6\pm 14}{2}$$
   $$x_1=-4,\quad x_2=10$$
   Тогда
   $$x\in[-4;10]$$
3. $$x^2+x+1\ge 0$$
   $$D=1-4=-3<0$$
   Так как $$a=1>0,$$ квадратный трёхчлен всегда положителен.
   Значит,
   $$x\in(-\infty;+\infty)$$
4. $$x^2-x+1<0$$
   $$D=1-4=-3<0$$
   При $$a=1>0$$ выражение всегда положительно, поэтому неравенство решений не имеет.
5. $$-3x^2+2x+1>0$$
   Умножим на $$-1$$, изменив знак неравенства:
   $$3x^2-2x-1<0$$
   $$D=4+12=16$$
   $$x_{1,2}=\frac{2\pm 4}{6}$$
   $$x_1=-\frac13,\quad x_2=1$$
   Тогда
   $$x\in\left(-\frac13;1\right)$$
6. $$x-x^2<0$$
   $$-x(x-1)<0$$
   Умножим на $$-1$$:
   $$x(x-1)>0$$
   Отсюда
   $$x<0 \text{ или } x>1$$
7. $$x^2+25x\ge 0$$
   $$x(x+25)\ge 0$$
   Тогда
   $$x\le -25 \text{ или } x\ge 0$$
8. $$0{,}1x^2-2\le 0$$
   Умножим на $$10$$:
   $$x^2-20\le 0$$
   $$x^2\le 20$$
   $$-2\sqrt5\le x\le 2\sqrt5$$

1. $$11+19+27+\dots+(8n+3)=470$$
   Это сумма арифметической прогрессии, где
   $$a_1=11,\quad a_n=8n+3$$
   Тогда
   $$\frac{11+(8n+3)}{2}\cdot n=470$$
   $$\frac{8n+14}{2}\cdot n=470$$
   $$n(4n+7)=470$$
   $$4n^2+7n-470=0$$
   $$D=7^2-4\cdot 4\cdot(-470)=7569$$
   $$n=\frac{-7+87}{8}=10$$
2. $$1+5+9+\dots+x=630$$
   Здесь
   $$a_1=1,\quad d=4,\quad x=a_n=1+4(n-1)=4n-3$$
   Тогда
   $$\frac{1+(4n-3)}{2}\cdot n=630$$
   $$\frac{4n-2}{2}\cdot n=630$$
   $$n(2n-1)=630$$
   $$2n^2-n-630=0$$
   $$D=1+5040=5041$$
   $$n=\frac{1+71}{4}=18$$
   $$x=4\cdot 18-3=69$$

Ответ

1) $$x\in(-\infty;1)\cup(3;+\infty)$$; 2) $$x\in[-4;10]$$; 3) $$x\in(-\infty;+\infty)$$; 4) решений нет; 5) $$x\in\left(-\frac13;1\right)$$; 6) $$x\in(-\infty;0)\cup(1;+\infty)$$; 7) $$x\in(-\infty;-25]\cup[0;+\infty)$$; 8) $$x\in[-2\sqrt5;2\sqrt5]$$; 9) $$n=10$$; 10) $$x=69$$.