Упр.805 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1) 7 + 13 + 19 + … + (6n + 1) = 480, где n — натуральное число;
2) 5 + 8 + 11 + … + х = 124, где х — натуральное число.

1) Сумма квадратов корней уравнения

$$x^2+ax+a-2=0$$

по теореме Виета равна

$$x_1+x_2=-a,\qquad x_1x_2=a-2.$$

Тогда

$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=a^2-2(a-2)=a^2-2a+4.$$

Найдём наименьшее значение выражения $$a^2-2a+4$$:

$$a^2-2a+4=(a-1)^2+3.$$

Минимум достигается при $$a=1$$.

2) $$7+13+19+\dots+(6n+1)=480$$

Это сумма арифметической прогрессии, где

$$a_1=7,\qquad a_n=6n+1.$$

Тогда

$$\frac{7+(6n+1)}{2}\cdot n=480,$$

$$\frac{6n+8}{2}\cdot n=480,$$

$$n(3n+4)=480,$$

$$3n^2+4n-480=0.$$

Дискриминант:

$$D=4^2-4\cdot 3\cdot(-480)=16+5760=5776,$$

$$\sqrt{D}=76.$$

Тогда

$$n=\frac{-4+76}{6}=12$$

второй корень отрицательный и не подходит. Значит, $$n=12$$.

3) $$5+8+11+\dots+x=124$$

Это арифметическая прогрессия с

$$a_1=5,\qquad d=3,\qquad x=a_n=5+3(n-1)=3n+2.$$

Сумма первых $$n$$ членов:

$$\frac{5+(3n+2)}{2}\cdot n=124,$$

$$\frac{3n+7}{2}\cdot n=124,$$

$$3n^2+7n-248=0.$$

Дискриминант:

$$D=7^2-4\cdot 3\cdot(-248)=49+2976=3025,$$

$$\sqrt{D}=55.$$

Тогда

$$n=\frac{-7+55}{6}=8$$

второй корень отрицательный и не подходит. Следовательно,

$$x=3\cdot 8+2=26.$$

Ответ

1) $$a=1$$; 2) $$n=12$$; 3) $$x=26$$.